Tiedemiehet pitävät nykyään itsestäänselvyytenä, että jokaisessa mittauksessa on virheitä, joten näennäisesti saman kokeen toistaminen antaa erilaisia tuloksia. Galileon ajan älyllisessä ilmapiirissä, jossa loogiset syllogismit, jotka eivät sallineet harmaata aluetta oikean ja väärän välillä, olivat hyväksyttyjä keinoja johtopäätösten tekemiseen, hänen uudenlaiset menettelytapansa olivat kuitenkin kaikkea muuta kuin vakuuttavia. Hänen työtään arvioitaessa on muistettava, että tieteellisten tulosten raportoinnissa nykyisin hyväksytyt konventiot otettiin käyttöön kauan Galileon ajan jälkeen. Näin ollen, jos hän, kuten sanotaan, totesi tosiasiana, että kaksi Pisan vinosta tornista pudotettua esinettä osui maahan yhdessä niin, että niiden välissä ei ollut kuin kämmenen leveyttä, siitä ei tarvitse päätellä, että hän suoritti kokeen itse tai että, jos hän teki sen, tulos oli aivan yhtä täydellinen. Flanderilainen matemaatikko Simon Stevin oli tosiaankin tehnyt jonkinlaisen kokeen hieman aikaisemmin (1586), mutta Galilei ihannoi tulosta. Kevyt ja raskas pallo eivät saavuta maata yhdessä, eikä niiden välinen ero ole aina sama, sillä on mahdotonta toistaa ideaalia, jossa ne pudotetaan täsmälleen samalla hetkellä. Galilei oli kuitenkin tyytyväinen siihen, että oli lähempänä totuutta sanoa, että ne putosivat yhdessä kuin että niiden nopeuksien välillä oli merkittävä ero. Tämä epätäydellisten kokeiden idealisointi on edelleen olennainen tieteellinen prosessi, vaikka nykyään pidetäänkin asianmukaisena esittää (tai ainakin pitää saatavilla tarkastelua varten) ensisijaiset havainnot, jotta muut voivat itsenäisesti arvioida, ovatko he valmiita hyväksymään tekijän johtopäätöksen siitä, mitä olisi havaittu ihanteellisesti suoritetussa kokeessa.
Periaatteita voidaan havainnollistaa toistamalla nykyaikaisten välineiden avulla sellainen koe, jollaisen Galilei itse suoritti, eli mittaamalla aika, joka kuluu, kun pallo rullaa eri etäisyyksien päähän eri etäisyyksien päähän alas loivasti kaltevaa kanavaa. Seuraavassa kerrotaan todellisesta kokeesta, jonka tarkoituksena on osoittaa hyvin yksinkertaisella esimerkillä, miten idealisointiprosessi etenee ja miten alustavat johtopäätökset voidaan sen jälkeen testata tarkemmin.
Messinkiseen kanavaan kairattiin 6 cm:n (2,4 tuuman) välein tasaisin väliajoin viivoja, ja pallo pidettiin levossa korkeimman viivan vieressä kortin avulla. Elektroninen ajastin käynnistettiin sillä hetkellä, kun kortti otettiin pois, ja ajastin pysäytettiin, kun pallo ohitti yhden muista viivoista. Seitsemän toistoa kustakin ajoituksesta osoitti, että mittaukset hajosivat tyypillisesti 1/20 sekunnin alueelle, mikä johtui oletettavasti inhimillisistä rajoituksista. Tällaisessa tapauksessa, jossa mittaukseen liittyy satunnaisvirhe, monien toistojen keskiarvo antaa paremman arvion siitä, millainen tulos olisi, jos satunnaisvirheen lähde poistettaisiin; kerroin, jolla arvio paranee, on suunnilleen mittausten lukumäärän neliöjuuri. Lisäksi saksalaisen matemaatikon Carl Friedrich Gaussin virheiden teorian avulla voidaan tehdä kvantitatiivinen arvio tuloksen luotettavuudesta, joka ilmaistaan taulukossa tavanomaisella symbolilla ±. Tämä ei tarkoita sitä, että sarakkeessa 2 olevan ensimmäisen tuloksen on taatusti oltava 0,671 ja 0,685 välillä, vaan sitä, että jos tämä seitsemän mittauksen keskiarvon määritys toistettaisiin monta kertaa, noin kaksi kolmasosaa määrityksistä olisi näissä rajoissa.
Mittausten esittäminen kuvaajalla, kuten kuviossa 1 on esitetty, ei ollut Galileon käytettävissä, vaan se kehitettiin pian hänen aikansa jälkeen ranskalaisen matemaatikon ja filosofin René Descartes’n työn tuloksena. Pisteet näyttävät olevan lähellä paraabelia, ja piirretty käyrä määritellään yhtälöllä x = 12t2. Sovitus ei ole aivan täydellinen, ja on syytä yrittää löytää parempi kaava. Koska ajastimen käynnistäminen, kun kortti poistetaan, jotta pallo pääsee rullaamaan, ja sen pysäyttäminen, kun pallo ohittaa merkin, ovat erilaisia toimintoja, on mahdollista, että satunnaisten ajoitusvirheiden lisäksi jokaisessa mitatussa t-arvossa esiintyy systemaattista virhettä; toisin sanoen jokainen mittaus t on ehkä tulkittava t + t0:ksi, jossa t0 on toistaiseksi tuntematon vakioajoitusvirhe. Jos näin on, voitaisiin tutkia, liittyvätkö mitatut ajat etäisyyteen ei x = at2:lla, jossa a on vakio, vaan x = a(t + t0)2:lla. Tämä voidaan testata myös graafisesti kirjoittamalla yhtälö ensin uudelleen muotoon√x:n neliöjuuri =√a(t + t0):n neliöjuuri, mikä tarkoittaa, että kun√x:n neliöjuuren arvot piirretään suhteessa mitattuihin t-arvoihin, niiden pitäisi olla suoralla viivalla. Kuva 2 todentaa tämän ennusteen melko tarkasti; viiva ei kulje origon kautta, vaan leikkaa vaaka-akselin kohdassa -0,09 sekuntia. Tästä voidaan päätellä, että t0 = 0,09 sekuntia ja että (t + 0,09)x:n pitäisi olla sama kaikille oheisessa 
-taulukossa esitetyille mittauspareille. Kolmas sarake osoittaa, että näin varmasti on. Pysyvyys on itse asiassa parempi kuin arvioitujen virheiden perusteella olisi voinut odottaa. Tätä on pidettävä tilastollisena sattumana; se ei merkitse mitään suurempaa varmuutta kaavan oikeellisuudesta kuin jos viimeisen sarakkeen luvut olisivat vaihdelleet, kuten ne olisivat hyvin voineet tehdä, 0,311 ja 0,315 välillä. Olisi yllättävää, jos koko kokeen toistaminen antaisi uudelleen näin lähes vakioidun tuloksen.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Mahdollinen johtopäätös on siis se, että jostain syystä – todennäköisesti havainnointivirheestä – mitatut ajat aliarvioivat 0,09 sekunnilla todellista aikaa t, jonka levosta lähtevä pallo tarvitsee kulkeakseen matkan x. Jos näin on, ihanteellisissa olosuhteissa x olisi tiukasti verrannollinen aikaan t2. Lisäkokeet, joissa kanava asetetaan erilaisiin, mutta silti loiviin kaltevuuksiin, viittaavat siihen, että yleinen sääntö on muotoa x = at2, jossa a on verrannollinen kaltevuuteen. Tätä kokeellisten mittausten alustavaa idealisointia voidaan joutua muuttamaan tai jopa hylkäämään uusien kokeiden valossa. Nyt kun se on kuitenkin saatettu matemaattiseen muotoon, sitä voidaan analysoida matemaattisesti, jotta saadaan selville, mitä seurauksia siitä seuraa. Näin voidaan myös ehdottaa tapoja, joilla sitä voidaan testata etsivämmin.
Kuvan 1 kaltaisesta kuvaajasta, joka osoittaa, miten x riippuu t:stä, voidaan päätellä pallon hetkellinen nopeus minä tahansa hetkenä. Tämä on käyrään piirretyn tangentin kaltevuus valitulla t:n arvolla; esimerkiksi hetkellä t = 0,6 sekuntia piirretty tangentti kuvaa, miten x olisi suhteessa t:hen, kun pallo liikkuu vakionopeudella noin 14 cm sekunnissa. Pienempi kaltevuus ennen tätä hetkeä ja suurempi kaltevuus sen jälkeen osoittavat, että pallo kiihtyy tasaisesti. Voitaisiin piirtää tangentteja eri t:n arvoilla ja päätellä, että hetkellinen nopeus on suunnilleen verrannollinen aikaan, joka on kulunut siitä, kun pallo alkoi rullata. Tämä menettely väistämättömine epätarkkuuksineen on tarpeeton, kun oletettuun kaavaan sovelletaan alkeislaskentaa. Hetkellinen nopeus v on x:n derivaatta t:n suhteen; jos
Se, että nopeus on tiukasti verrannollinen kuluneeseen aikaan, seuraa siitä, että v:n kuvaaja t:n suhteen olisi origon kautta kulkeva suora. Missä tahansa näiden suureiden kuvaajassa, olipa se suora tai ei, tangentin kaltevuus missä tahansa pisteessä osoittaa, miten nopeus muuttuu ajan funktiona kyseisellä hetkellä; tämä on hetkellinen kiihtyvyys f. Jos v:n ja t:n välinen kuvaaja on suora, kaltevuus ja siten myös kiihtyvyys ovat samat kaikkina aikoina. Matemaattisesti ilmaistuna f = dv/dt = d2x/dt2; tässä tapauksessa f saa vakioarvon 2a.
Alustava johtopäätös on siis, että suoraa rinnettä alaspäin vierivä pallo kokee vakiokiihtyvyyden ja että kiihtyvyyden suuruus on verrannollinen kaltevuuteen. Nyt on mahdollista testata johtopäätöksen paikkansapitävyyttä selvittämällä, mitä se ennustaa eri koejärjestelyllä. Jos mahdollista, järjestetään koe, joka mahdollistaa tarkemmat mittaukset kuin alustavaan päätelmään johtaneet mittaukset. Tällaisen testin tarjoaa pallo, joka vierii kaarevassa kanavassa siten, että sen keskipisteen ympyränkaari on säteen r suuruinen, kuten kuvassa 3 on esitetty. Jos kaari on matala, kaltevuus etäisyydellä x sen alimmasta pisteestä on hyvin lähellä arvoa x/r, joten pallon kiihtyvyys kohti alinta pistettä on verrannollinen arvoon x/r. Kun otetaan käyttöön c suhteellisuusvakio, tämä kirjoitetaan differentiaaliyhtälöksi
Encyclopædia Britannica, Inc.
Tässä todetaan, että kuvaajassa, joka osoittaa, miten x muuttuu t:n funktiona, kaarevuus d2x/dt2 on verrannollinen x:ään ja vastakkaisen merkin omaava, kuten kuvassa 4 on esitetty. Kun kuvaaja ylittää akselin, x ja siten kaarevuus ovat nolla, ja suora on paikallisesti suora. Tämä kuvaaja kuvaa pallon värähtelyä ±A:n ääriarvojen välillä sen jälkeen, kun se on päästetty irti x = A:sta klo t = 0. Sen differentiaaliyhtälön ratkaisu, jonka graafinen esitys kuvaaja on, on
Encyclopædia Britannica, Inc.
jossa ω, jota kutsutaan kulmataajuudeksi, kirjoitetaan neliöjuurelle√(c/r). Pallolta kuluu aikaa T = 2π/ω = 2πneliöjuuri√(r/c) palatakseen alkuperäiseen lepoasentoonsa, minkä jälkeen värähtely toistuu loputtomiin tai kunnes kitka saa pallon pysähtymään.
Tämän analyysin mukaan jakso T on riippumaton värähtelyn amplitudista, ja tämä varsin odottamaton ennuste voidaan testata tiukasti. Sen sijaan, että pallon annettaisiin rullata kaarevaa kanavaa pitkin, sama rata toteutuu helpommin ja tarkemmin tekemällä siitä yksinkertaisen heilurin napa. Sen testaamiseksi, että jakso on riippumaton amplitudista, voidaan tehdä kaksi mahdollisimman samanlaista heiluria niin, että ne pysyvät samassa tahdissa, kun ne heiluvat samalla amplitudilla. Sitten niitä heilutetaan eri amplitudilla. Jaksoeron havaitseminen vaatii huomattavaa varovaisuutta, ellei toinen amplitudi ole suuri, jolloin jakso on hieman pidempi. Havainto, joka on hyvin lähellä ennustetta, mutta ei täysin, ei välttämättä osoita, että alkuperäinen oletus on virheellinen. Tässä tapauksessa differentiaaliyhtälö, joka ennusti jakson tarkan pysyvyyden, oli itsessään likiarvo. Kun se muotoillaan uudelleen siten, että x/r korvataan oikealla kaltevuuden lausekkeella, ratkaisu (joka sisältää melko raskasta matematiikkaa) osoittaa jakson vaihtelun amplitudin mukaan, mikä on tiukasti todennettu. Kaukana siitä, että alustava olettamus olisi menettänyt merkityksensä, se on saanut entistä enemmän tukea.
Galileon kiihtyvyyslaki, joka on fysikaalinen perusta jaksoa kuvaavalle lausekkeelle 2πneliöjuuri√(r/c), vahvistuu entisestään, kun havaitaan, että T muuttuu suoraan r:n neliöjuurena – ts, heilurin pituudesta.
Lisäksi tällaiset mittaukset mahdollistavat vakion c arvon määrittämisen suurella tarkkuudella, ja sen havaitaan olevan yhteneväinen vapaasti putoavan kappaleen kiihtyvyyden g kanssa. Itse asiassa kaava yksinkertaisen, pituudeltaan r:n pituisen heilurin pienten värähtelyjen jaksolle, T = 2πneliöjuuri√(r/g), on joidenkin tarkimpien g:n mittausmenetelmien ytimessä. Näin ei olisi käynyt, ellei tiedeyhteisö olisi hyväksynyt Galilein kuvausta ihanteellisesta käyttäytymisestä eikä odottanut, että pienet poikkeamat horjuttaisivat sen uskoa, niin kauan kuin niiden voitiin ymmärtää heijastavan väistämättömiä satunnaisia eroavaisuuksia ihanteen ja sen kokeellisen toteutumisen välillä. Kvanttimekaniikan kehitystä 1900-luvun ensimmäisellä neljänneksellä vauhditti se, että vastahakoisesti hyväksyttiin, että tämä kuvaus epäonnistui järjestelmällisesti, kun sitä sovellettiin atomikokoisiin kohteisiin. Tässä tapauksessa ei ollut kyse fysikaalisten ajatusten tarkemmasta siirtämisestä matematiikkaan, kuten jakson vaihteluissa, vaan koko fysikaalinen perusta oli tarkistettava radikaalisti. Aiempia ideoita ei kuitenkaan hylätty – niiden oli todettu toimivan hyvin aivan liian monissa sovelluksissa, jotta ne olisi voitu hylätä. Sen sijaan saatiin selkeämpi käsitys olosuhteista, joissa niiden ehdotonta pätevyyttä voitiin turvallisesti olettaa.