Mitä on puhdas matematiikka? Mitä puhtaat matemaatikot tekevät? Miksi puhdas matematiikka on tärkeää?

Nämä ovat kysymyksiä, joihin törmään usein, kun ihmiset saavat tietää, että teen puhdasta matematiikkaa.

Onnistun aina antamaan vastauksen, mutta se ei koskaan tunnu tyydyttävän täysin.

Yritän siis antaa muotoillumman ja kypsemmän vastauksen näihin kolmeen kysymykseen. Pyydän jo etukäteen anteeksi liiallisia yksinkertaistuksia, joita olen joutunut tekemään ollakseni ytimekäs.

Laaja-alaisesti ottaen matematiikkaa on kahta eri tyyppiä (ja kuulen jo protesteja) – puhdasta ja soveltavaa. Bertrand Russellin kaltaiset filosofit yrittivät antaa tälle luokittelulle tiukat määritelmät.

Kiinnitän eron seuraavaan, hieman kryptiseen toteamukseen: puhtaat matemaatikot todistavat teoreemoja ja soveltavat matemaatikot rakentavat teorioita.

Tämä tarkoittaa sitä, että paradigma, jossa nämä kaksi ihmisryhmää tekevät matematiikkaa, on erilainen.

Puhtaita matemaatikkoja ajavat usein abstraktit ongelmat. Jotta abstrakti olisi konkreettista, tässä on pari esimerkkiä: “onko äärettömän monta kaksoisprimaa” tai “onko jokaisella oikealla matemaattisella lausumalla todiste?”.

Tarkemmin sanottuna matematiikka rakentuu aksioomista, ja matemaattisen totuuden luonnetta säätelee predikaattilogiikka.

Matemaattinen teoreema on tosi lausuma, johon liittyy todiste, joka havainnollistaa sen totuuden kiistattomasti päättelemällä logiikkaa käyttäen.

Toisin kuin empiirisessä teoriassa, ei riitä, että yksinkertaisesti rakennetaan selitys, joka voi muuttua poikkeusten ilmaantuessa.

Mitä tahansa, mitä matemaatikko epäilee todeksi todisteiden, mutta ei todisteiden perusteella, on pelkkä arvelu.

Soveltava

Soveltavia matemaatikkoja motivoivat tyypillisesti fysikaalisesta maailmasta nousevat ongelmat. He käyttävät matematiikkaa näiden ongelmien mallintamiseen ja ratkaisemiseen.

Nämä mallit ovat oikeastaan teorioita, ja kuten mikä tahansa tiede, ne ovat testattavissa ja falsifioitavissa. Kun ongelmaa koskevan tiedon määrä kasvaa, nämä mallit mahdollisesti muuttuvat.

Puhdas ja soveltava eivät välttämättä sulje toisiaan pois. On monia suuria matemaatikkoja, jotka kulkevat molemmilla alueilla.

Puhdas

Puhtaiden matemaatikkojen tavoittelemat monet ongelmat juontavat juurensa konkreettisiin fysikaalisiin ongelmiin – erityisesti suhteellisuusteoriaan tai kvanttimekaniikkaan liittyviin ongelmiin.

Tyypillisesti tällaisten ilmiöiden syvällisemmässä ymmärtämisessä nousee esiin erilaisia “teknisiä seikkoja” (uskokaa minua, kun kerron, että näitä teknisiä seikkoja on hyvin vaikea selittää). Nämä abstrahoituvat puhtaasti matemaattisiksi lausumiksi, joita vastaan puhtaat matemaatikot voivat hyökätä.

Tällöin näiden matemaattisten ongelmien ratkaisemisella voi olla tärkeitä sovelluksia.

Ok tietokone

Sallikaa minun antaa konkreettinen esimerkki siitä, miten abstrakti ajattelu johti sellaisen laitteen kehitykseen, joka on modernin yhteiskunnan toimintojen perustana: tietokoneen.

Varhaisimmat tietokoneet olivat kiinteän ohjelman omaavia – eli ne oli tarkoituksenmukaisesti rakennettu suorittamaan vain yksi tehtävä. Ohjelman muuttaminen oli hyvin kallista ja työlästä.

Nykyaikainen jäänne tällaisesta dinosauruksesta olisi taskulaskin, joka on rakennettu suorittamaan vain peruslaskutoimituksia. Nykyaikaisen tietokoneen avulla sen sijaan voi ladata laskinohjelman tai tekstinkäsittelyohjelman, eikä sitä varten tarvitse vaihtaa konetta.

Tämä paradigman muutos tapahtui 1940-luvun puolivälissä, ja sitä kutsutaan tallennetuksi ohjelmaksi tai von Neumannin arkkitehtuuriksi.

Laajaan levinneen, mutta vähemmän tunnetun tarinan mukaan tämä käsite juontaa juurensa abstraktin matemaattisen ongelman nimeltä Entscheidungsproblem (päätösongelma) tutkimiseen.

D Entscheidungsproblemin muotoili vuonna 1928 kuuluisa matemaatikko David Hilbert.

Se kääntyy suunnilleen näin: “Onko olemassa menettelyä, jolla voidaan päättää matemaattisen lausuman totuus tai epätotuus äärellisessä määrässä vaiheita?”.”

Tähän kysymykseen Alonzo Church ja Alan Turing vastasivat kieltävästi itsenäisesti vuosina 1936 ja 1937. Turing muotoilee artikkelissaan abstraktin koneen, jota nyt kutsumme Turingin koneeksi.

Koneessa on äärettömän pitkä nauha (muisti), pää, joka voi liikkua askeleen kerrallaan, lukea nauhalta ja kirjoittaa nauhalle, äärellinen käskykirjoitustaulukko, joka antaa käskyjä päähän, ja äärellinen joukko tiloja (kuten “hyväksy” tai “kiellä”). Kone käynnistetään nauhalla olevalla syötteellä.

Tällaista konetta ei voi olla olemassa matematiikan ulkopuolella, koska sillä on äärettömän pitkä nauha.

Mutta se on väline, jota käytetään laskettavuuden käsitteen määrittelyyn. Toisin sanoen sanomme, että ongelma on laskettavissa, jos voimme koodata sen Turingin koneen avulla.

Tällöin voidaan nähdä Turingin koneen ja kiinteän ohjelman koneen rinnakkaisuus.

Asettakaamme nyt, että on olemassa Turingin kone U, joka voi ottaa mielivaltaisen Turingin koneen T (sopivasti koodattuna) käskytaulukon ja tilat ja samalla nauhalla syöttää T:lle syötteen I ja suorittaa Turingin koneen T syötteellä I.

Tällaista konetta kutsutaan universaaliksi Turingin koneeksi.

Vuonna 1937 julkaistussa artikkelissaan Turing todistaa tärkeän olemassaoloteoremin: on olemassa universaali Turingin kone. Tämä on nyt varasto-ohjelman käsitteen rinnalla, joka on nykyaikaisen ohjelmoitavan tietokoneen perusta.

On huomattavaa, että matematiikan perusteita koskeva abstrakti ongelma loi pohjan nykyaikaisen tietokoneen syntymiselle.

Puhtaalle matematiikalle on ehkä ominaista, että matemaatikkoa eivät rajoita fysikaalisen maailman rajoitukset ja että hän voi vedota mielikuvitukseen luodakseen ja rakentaakseen abstrakteja kohteita.

Tämä ei tarkoita sitä, etteikö puhdas matemaatikko formalisoisi fysikaalisia käsitteitä, kuten energiaa, entropiaa ja niin edelleen, tehdäkseen abstraktia matematiikkaa.

Joka tapauksessa tämän esimerkin pitäisi havainnollistaa, että puhtaasti matemaattisten ongelmien tavoittelu on kannatettava asia, jolla voi olla valtava arvo yhteiskunnalle.