Matemaatikot ovat jo vuosia epäilleet, että tietyissä olosuhteissa Eulerin yhtälöt eivät toimi. Mutta he eivät ole pystyneet tunnistamaan tarkkaa skenaariota, jossa tämä epäonnistuminen tapahtuu. Tähän asti.

Yhtälöt ovat idealisoitu matemaattinen kuvaus siitä, miten nesteet liikkuvat. Tiettyjen oletusten rajoissa ne mallintavat sitä, miten aallot leviävät lammella tai miten melassi valuu ulos purkista. Niiden pitäisi pystyä kuvaamaan minkä tahansa nesteen liikettä kaikissa olosuhteissa – ja yli kahden vuosisadan ajan ne ovatkin pystyneet kuvaamaan sitä.

Mutta uusi todiste osoittaa, että tietyissä olosuhteissa yhtälöt epäonnistuvat.

“Puolitoista vuotta sitten olisin sanonut, etten ehkä näkisi tätä enää elinaikanani”, sanoo Kalifornian yliopiston San Diegon yliopistossa työskentelevä matemaatikko Tarek Elgindi, joka on myös kirjoittanut uuden työn.

Elgindi todisti Eulerin yhtälöiden virheen olemassaolon kahdessa tänä vuonna verkossa julkaistussa artikkelissa – toisessa huhtikuussa, jonka hän kirjoitti yksin, ja toisessa lokakuussa, jonka hän kirjoitti yhdessä Tej-eddine Ghoulin ja Nader Masmoudin kanssa. Yhdessä nämä artikkelit ovat kumonneet vuosisatoja kestäneet oletukset näistä kuuluisista nesteyhtälöistä.

“Minusta se on suuri, hieno saavutus”, sanoi Peter Constantin, matemaatikko Princetonin yliopistosta.

Elgindin työ ei ole kuolinisku Eulerin yhtälöille. Pikemminkin hän todistaa, että hyvin tietyissä olosuhteissa yhtälöt ikään kuin ylikuumenevat ja alkavat tuottaa hölynpölyä. Realistisemmissa olosuhteissa yhtälöt ovat vielä toistaiseksi haavoittumattomia.

Mutta Elgindin löytämä poikkeus on matemaatikoille hätkähdyttävä, koska se tapahtui olosuhteissa, joissa he aiemmin luulivat yhtälöiden aina toimivan.

“Yleisesti ottaen luulen, että ihmiset ovat melko yllättyneitä Tarekin esimerkistä”, sanoo Vlad Vicol, matemaatikko New Yorkin yliopistosta.

Eulerin räjähdys

Leonhard Euler löysi nykyään hänen nimeään kantavat nesteyhtälöt vuonna 1757. Ne kuvaavat nesteen kehitystä ajan kuluessa, aivan kuten Newtonin yhtälöt kuvaavat biljardipallon liikettä pöydällä.

Tarkemmin sanottuna yhtälöt määrittelevät äärettömän pienten hiukkasten hetkellisen liikkeen nesteessä. Tämä kuvaus sisältää hiukkasen nopeuden (kuinka nopeasti se liikkuu ja mihin suuntaan) ja siihen liittyvän suureen, joka tunnetaan nimellä vortisiteetti (kuinka nopeasti se pyörii kuin huippu ja mihin suuntaan).

Yhteenlaskettuna nämä tiedot muodostavat “nopeuskentän”, joka on tilannekuva nesteen liikkeestä tietyllä hetkellä. Eulerin yhtälöt lähtevät liikkeelle alkunopeuskentästä ja ennustavat, miten se muuttuu joka hetki tulevaisuudessa.

Eulerin yhtälöt eivät ole kirjaimellinen kuvaus todellisesta nesteestä. Ne sisältävät useita ei-fysikaalisia oletuksia. Esimerkiksi yhtälöt toimivat vain, jos nesteen sisäiset virtaukset eivät tuota kitkaa liikkuessaan toistensa ohi. Niissä oletetaan myös, että nesteet ovat “kokoonpuristumattomia”, mikä tarkoittaa, että Eulerin yhtälöiden sääntöjen mukaan nestettä ei voi puristaa pienempään tilaan kuin mihin se jo mahtuu.

“Voimme ajatella mallia tietynlaisena idealisoituna maailmana ja yhtälöitä tämän maailman liikesääntöinä”, kirjoitti Vladimir Sverak Minnesotan yliopistosta sähköpostitse.

Näiden epäluonnollisten ehtojen vuoksi matemaatikko ja fyysikko John von Neumann vitsaili, että yhtälöt mallintavat “kuivaa vettä”. Mallintaakseen realistisemman nesteen liikettä, jossa on sisäistä kitkaa (tai viskositeettia), tutkijat käyttävät sen sijaan Navier-Stokesin yhtälöitä.

“Eulerin yhtälöt ovat hyvin idealisoituja. Todellisissa nesteissä on kitkaa”, Constantin sanoi.

Mutta Eulerin yhtälöillä on silti kunnioitettava asema tieteessä. Tutkijat haluaisivat tietää, toimivatko yhtälöt yksiselitteisesti tässä kitkattomassa, kokoonpuristumattomassa, idealisoidussa maailmassa – eli voivatko ne kuvata kaikkien mahdollisten alkunopeuskenttien kaikki tulevat tilat. Tai toisin sanoen:

“Peruskysymys on: Pystyvätkö yhtälöt aina hoitamaan tehtävänsä?”, Sverak sanoi.

Teoriassa, kun yhtälöt antavat arvot nesteen nykytilalle, ne tuottavat tarkat arvot tulevalle tilalle. Sitten voit liittää nämä uudet arvot takaisin yhtälöihin ja laajentaa ennustetta. Tyypillisesti prosessi toimii, näennäisesti niin pitkälle tulevaisuuteen kuin haluaa katsoa.

Mutta on myös mahdollista, että hyvin harvinaisissa olosuhteissa yhtälöt hajoavat. Ne voivat porskuttaa eteenpäin tuottaen tuotoksia, jotka toimivat tulevaisuuden syötteinä, kun asiat alkavat mennä pieleen ja yhtälöt tuottavat lopulta arvon, jolla ne eivät voi jatkaa laskentaa. Tällaisissa tilanteissa matemaatikot sanovat yhtälöiden “räjähtävän”.

Jos Eulerin yhtälöt räjähtäisivät, se johtuisi siitä, että ne voimistaisivat pisteen nopeutta tai pyörteisyyttä hyvin luonnottomalla tavalla. Vahvistuminen olisi niin äärimmäistä, että äärellisessä ajassa pisteen nopeus tai pyörteisyys muuttuisi äärettömäksi. Ja kun yhtälöt tuottaisivat äärettömän arvon, ne romahtaisivat eivätkä kykenisi kuvaamaan mitään muita tulevia tiloja. Tämä johtuu siitä, että yleensä äärettömillä arvoilla ei voi laskea sen enempää kuin nollalla jakaminenkaan. (Arvot ylittäisivät matkan varrella valonnopeuden, mutta tässä idealisoidussa maailmassa se on OK.)

Näitä kohtalokkaita äärettömiä arvoja kutsutaan “singulariteeteiksi”. Kun matemaatikot kysyvät: “Toimivatko Eulerin yhtälöt aina?”, he oikeastaan kysyvät: “Onko olemassa skenaarioita, joissa Eulerin yhtälöt tuottavat singulariteetteja?”

Monet matemaatikot uskovat, että vastaus on kyllä, mutta he eivät ole koskaan pystyneet löytämään tiettyä skenaariota, jossa yhtälöt todella räjähtäisivät.”

“Tuntuu siltä, että Euler yrittää välttää . Toistaiseksi se on onnistunut”, Constantin sanoi.

Uusi työ ei osoita, että yhtälöt tuottavat singulariteetteja juuri niissä olosuhteissa, joista matemaatikot välittävät eniten. Mutta se on toistaiseksi lähimpänä tätä tavoitetta oleva tulos. Sen saavuttamiseksi Elgindi tarkasteli yksinkertaistettua mallia siitä, miten nesteet liikkuvat.

Kompleksisuuden vähentäminen

Matemaatikoilla on monia eri tapoja vähentää sen nesteen liikkeen monimutkaisuutta, jota he pyytävät Eulerin yhtälöiden mallintamaan. Monet mielenkiintoisimmista tuloksista, kuten Elgindin tulokset, liittyvät sen osoittamiseen, kuinka pitkälle voidaan yksinkertaistaa nesteen käyttäytymistä – eli kuinka pitkälle voidaan yksinkertaistaa yhtälöihin syötettävää dataa – ja samalla onnistutaan silti sanomaan jotain mielekästä itse yhtälöistä.

Todellisessa kolmiulotteisessa nesteessä, kuten lammen vedessä, jokaisella hiukkasella on kolme akselia, joita pitkin se voi liikkua: x-akseli (vasemmalle tai oikealle), y-akseli (ylös- tai alaspäin) ja z-akseli (taaksepäin tai eteenpäin). Siinä on paljon liikkumisvapautta. Lisäksi nesteen eri osissa olevien hiukkasten liikkeiden välillä ei välttämättä ole mitään vahvaa suhdetta.

“Sitä on liikaa seurata”, Elgindi sanoi.

Uudessa työssään Elgindi yksinkertaistaa työtä, jota hän pyytää Eulerin yhtälöiden avulla. Hän vaatii, että nesteellä on symmetria z-akselin ympärillä, mitä ei yleensä löydy todellisesta nesteestä. Tämä symmetria helpottaa nopeuskentän laskemista, koska tiedetään, että z-akselin molemmin puolin olevat pisteet ovat toistensa peilikuvia. Joten jos tiedät nopeuden tai pyörteisyyden yhdessä pisteessä, sinun tarvitsee vain kääntää arvojen merkit toisinpäin ja tiedät arvot toisessa pisteessä.

Hän myös rajoittaa nesteen pisteiden käytettävissä olevaa liikealuetta. Hiukkaset saavat liikkua kahteen yleiseen suuntaan, joko z-akselia pitkin tai z-akselia kohti tai siitä poispäin. Ne eivät saa pyöriä z-akselin ympäri. Matemaatikot sanovat, että tällaisessa nesteessä ei ole “pyörteitä”.

“Se vähentää ongelman periaatteessa kaksiulotteiseksi”, Elgindi sanoi.

Viimeiseksi Elgindi asettaa tiettyjä lisäehtoja alkutiedoille, jotka hän syöttää Eulerin yhtälöihin. Tiedot ovat tavallaan karkeampia kuin ne arvot, jotka kuvaavat reaalimaailman nesteitä, ja se tekee singulariteettien muodostumisen todennäköisemmäksi.

Todellisessa elämässä, jos siirryt hyvin pienen matkan nesteen yhdestä pisteestä toiseen, nopeus toisessa pisteessä on hyvin samankaltainen kuin nopeus ensimmäisessä pisteessä. Vastaavasti pyörteisyyden kahdessa pisteessä pitäisi olla hyvin samankaltainen. Matemaatikot sanovat, että nopeuskentät, joilla on tämä ominaisuus, ovat “sileitä”, mikä tarkoittaa, että arvot vaihtelevat jatkuvasti – tasaisesti – siirryttäessä pisteestä toiseen. Niissä ei tapahdu nopeita muutoksia.

Tämä ei pidä paikkaansa Elgindin kuvauksissa nesteestä.

“Tarekin aineistossa vortisiteetit voivat vaihdella dramaattisemmin”, Vicol sanoi. “Läheisillä pisteillä on hyvin erilaisia pyörteisyyksiä.”

Elgindin yksinkertaistukset saattavat tuntua olevan liian kaukana todellisesta nesteen käyttäytymisestä, jotta niistä olisi hyötyä. Mutta ne ovat paljon lievempiä kuin monet yksinkertaistetut skenaariot, joissa matemaatikot ovat aiemmin saaneet tietoa Eulerin yhtälöistä.

Elgindi itse asiassa osoitti, että näissä yksinkertaistetuissa – mutta ei liian yksinkertaistetuissa – olosuhteissa Eulerin yhtälöt alkavat tuottaa hyvin odottamattomia tuloksia.

Peli on pelattu

Ymmärtääksesi Elgindin löytöä kuvittele säiliö täynnä vettä. Tämä on hieman harhaanjohtavaa, sillä Elgindin työ käsittelee nesteitä, joilla ei ole rajaa, eli ne leijuvat kuin möykky avaruudessa. Hänen työnsä ytimessä olevan skenaarion havainnollistamiseksi on kuitenkin hyödyllistä sijoittaa vesi säiliöön. Tärkeimmät matemaattiset arvaukset – ja vaikeimmin todistettavat – koskevat rajattomia nesteitä.

Kuvittele seuraavaksi kaksi paksua vesirengasta säiliön vastakkaisiin päihin. Renkaat muodostavat ikään kuin pyörteitä tai pyörteitä – organisoituja häiriöitä nesteen päärungon sisällä. Ne ovat eräänlainen ilmiö, jota todella esiintyy luonnossa, ja ne näyttävät samalta kuin renkaat, joita taitavat tupakoitsijat voivat tuottaa.

Kuvittele nyt, että vastakkaiset renkaat liikkuvat toisiaan kohti.

Kun ne etenevät, Eulerin yhtälöt toimivat normaalisti taustalla laskien nopeuskenttiä, jotka kuvaavat nestettä kullakin ajanhetkellä. Mutta kun renkaat lähestyvät toisiaan, yhtälöt alkavat ilmoittaa hurjia arvoja.

Näyttävät, että renkaat vetävät toisiaan puoleensa yhä voimakkaammin – ja erityisesti ne osoittavat, että renkaiden sisimmät osat vetävät ja vetävät toisiaan puoleensa vielä suuremmalla voimalla kuin renkaiden uloimmat osat. Tämän seurauksena renkaat pitenevät ja venyvät ja näyttävät enemmänkin suppiloiden kaltaisilta. Kun niiden keskipisteet tulevat yhä lähemmäs, niiden nopeus kiihtyy ja kiihtyy. Sitten ne törmäävät.

Ja jos juuri sillä hetkellä katsot törmäystä kuvaavaa nopeuskenttää, näet jotain, mitä kukaan ei ole nähnyt näillä oletuksilla Eulerin yhtälöiden historiassa: singulariteetin. Elgindi todisti, että Eulerin yhtälöt laskevat äärettömän pyörteen törmäyskohdassa. Peli on ohi.

“Yhtälöiden klassinen muoto hajoaa”, sanoi Elgindi. “Sen jälkeen ei tiedä mitä tapahtuu.”

Tuloksella on joitakin rajoituksia. Nimittäin hänen todistuksestaan on mahdotonta ekstrapoloida Eulerin yhtälöiden käyttäytymistä täysin “sileissä” olosuhteissa. Tämä johtuu siitä, että matemaatikot todistivat jo vuosikymmeniä sitten, että tasaisissa olosuhteissa Elgindin tarkastelemassa skenaariossa ei synny singulariteettia.

Mutta muilta osin hänen tuloksensa muuttaa täysin matemaattikkojen tapaa tarkastella näitä vanhoja yhtälöitä.

Ennen Elgindin työtä matemaatikot eivät olleet koskaan todistaneet, että on olemassa tilanne, jossa ilman rajaa Eulerin yhtälöt toimisivat lyhyen ajan (renkaiden lähestyessä toisiaan) mutta eivät ikuisesti. Kaikissa aikaisemmissa töissä matemaatikot olivat havainneet, että jos yhtälöt ylipäätään toimivat, ne toimivat ikuisesti.

“Se on varsin merkittävä tulos, koska se todistaa, että singulariteetteja on olemassa skenaariossa, jota kutsumme ‘hyvin asetetuksi’. Se on järkevää, ja siitä huolimatta syntyy tämä äärellisen ajan singulariteetti”, Constantin sanoi.

Monet tutkijasukupolvet ovat etsineet pehmeää kohtaa Eulerin yhtälöistä. Vihdoinkin – tietyin varauksin – matemaatikko on löytänyt sellaisen.