Syötteen uudelleenmuotoilu :

Syötteeseen tehtyjen muutosten ei pitäisi vaikuttaa ratkaisuun:
(1): “x2” korvattiin sanalla “x^2”.

Vaihe vaiheelta ratkaisu :

Yritetään kertoa jakamalla keskimmäinen termi

1.1 Faktorointi x2-2x-1
Ensimmäinen termi on, x2 sen kerroin on 1 .
Keskimmäinen termi on, -2x sen kerroin on -2 .
Viimeinen termi, “vakio”, on -1
Vaihe 1 : Kerro ensimmäisen termin kerroin vakiolla 1 – -1 = -1
Vaihe 2 : Etsi kaksi -1:n tekijää, joiden summa on yhtä suuri kuin keskimmäisen termin kerroin, joka on -2 .

=

-1

+

1

+

1

0

>
Havainto : Kahta sellaista faktoria ei löydy !!!
Johtopäätös : Trinomia ei voida faktoroida

Yhtälö vaiheen 1 lopussa :

 x2 - 2x - 1 = 0 

Vaihe 2 :

Parabola, kärkipisteen löytäminen :

2.1 Löydä kärkipiste yhtälölle y = x2-2x-1
Paraboloilla on korkein tai matalin piste, jota kutsutaan kärkipisteeksi . Meidän paraabelimme aukeaa ja vastaavasti sillä on alin piste (AKA absoluuttinen minimi) . Tiedämme tämän jo ennen y:n piirtämistä, koska ensimmäisen termin kerroin 1 on positiivinen (suurempi kuin nolla).
Kullakin paraabelilla on pystysuora symmetriaviiva, joka kulkee sen kärkipisteen kautta. Tämän symmetrian vuoksi symmetriaviiva kulkee esimerkiksi paraabelin kahden x -keskipisteen (juuren tai ratkaisun) keskipisteen kautta. Toisin sanoen, jos paraabelilla on todellakin kaksi todellista ratkaisua.
Parabeleilla voidaan mallintaa monia tosielämän tilanteita, kuten ylöspäin heitetyn esineen korkeutta maanpinnasta jonkin ajan kuluttua. Parabelin kärki voi antaa meille tietoa, kuten maksimikorkeuden, jonka ylöspäin heitetty esine voi saavuttaa. Tästä syystä haluamme löytää kärkipisteen koordinaatit.
Minkä tahansa paraabelin,Ax2+Bx+C,kärkipisteen x -koordinaatti on -B/(2A) . Meidän tapauksessamme x -koordinaatti on 1.0000
Parabolan kaavaan 1.0000 x:lle voimme laskea y -koordinaatin :
y = 1.0 * 1.00 * 1.00 * 1.00 – 2.0 * 1.00 – 1.0
tai y = -2.000

Parabola, kuvaajan huippu ja X-sisäkohdat :

Ratkaise kvadraattinen yhtälö täydentämällä neliö

Ratkaise kvadraattinen yhtälö kvadraattikaavalla

2.3 Ratkaisu x2-2x-1 = 0 kvadraattikaavalla .
Kvartaalikaavan x mukaan Ax2+Bx+C = 0 , jossa A, B ja C ovat lukuja, joita usein kutsutaan kertoimiksi, ratkaisu on :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
Tapauksessamme A = 1
B = -2
C = -1
Seuraavasti B2 – 4AC =
4 – (-4) =
8
Kvadraattisen kaavan soveltaminen :
2 ± √ 8
x = —-
2
Voidaanko √ 8 yksinkertaistaa ?
Kyllä! 8:n alkutekijäkerroin on
2-2-2
Jott voimme poistaa jotain radikaalin alta, täytyy olla 2 tapausta (koska otamme neliön eli toisen juuren).
√ 8 = √ 2-2-2 =
± 2 – √ 2
√ 2 , pyöristettynä neljään desimaalilukuun, on 1.4142
Selvitetään siis nyt:
x = ( 2 ± 2 – 1.414 ) / 2
Kaksi todellista ratkaisua:
x =(2+√8)/2=1+√ 2 = 2.414
tai:
x =(2-√8)/2=1-√ 2 = -0.414

Löytyi kaksi ratkaisua: