moni oppilas törmää geometrian muuriin lukiossa, ja heidän matemaattinen matkansa päättyy. Tämä muuri estää heitä usein jatkamasta matematiikan kursseilla ja siirtymästä onnistuneesti korkeakouluun.
On useita syitä siihen, miksi tätä muuria on niin vaikea voittaa. Ensinnäkin näyttää olevan todisteita siitä, että ihmisillä on luontainen taipumus joko aritmeettiseen tai visuaaliseen ja geometriseen tapaan lähestyä matematiikkaa. Edelliselle ryhmälle avaruudellinen ajattelu ei ole yhtä helppoa kuin muille. Opettajina emme voi hallita ihmisen luontaisia kykyjä. Jotkut oppilaat oppivat vieraita kieliä nopeammin kuin toiset; jotkut ovat luonnostaan koordinoidumpia.
Hyvä uutinen opettajille on, että nämä puutteet eivät tarkoita, etteikö näitä taitoja voisi kehittää ja oppia. Monien oppilaiden geometrian ymmärtämisen puute johtuu osittain siitä, että heillä ei ole mahdollisuuksia kokea avaruudellisia opetussuunnitelmia.
Monissa oppikirjoissa ja monissa piirien tahdistusohjeissa korostetaan laskutaitoa, aritmeettista ja algebrallista päättelyä. Geometria (yhdessä datan ja tilastojen kanssa) on usein piilotettu kirjan viimeisiin lukuihin ja vuoden viimeisille viikoille valtion kokeiden jälkeen. Koska meillä opettajilla on kiire ja koska meidän on opetettava uudelleen ja kerrattava käsitteitä, joita ei ole täysin ymmärretty, emme useinkaan pääse näihin lukuihin. Näin ollen oppilaat pääsevät lukion geometriaan seuraavilla taidoilla: “Tiedän muotojen nimet ja jouduin opettelemaan ulkoa pinta-alakaavat, mutta en muista niitä.”
Kävi ilmi, että geometrisen ajattelun pohjatyön teki hollantilainen pariskunta, van Hiele. He tekivät kaksi merkittävää löytöä siitä, miten opimme geometriaa. Ensinnäkin geometrisessa ajattelussa on viisi peräkkäistä tasoa. (Toiseksi, ja tämä on todella hyvä uutinen, siirtyminen yhdeltä tasolta seuraavalle korkeammalle ei ole niinkään iästä riippuvainen kognitiivinen kehityskysymys, vaan pikemminkin riippuvainen altistumisesta näille geometrisille kokemuksille.
Tässä on viisi geometrisen ajattelun omaksumisen tasoa. Yhdellä tasolla olevat oppilaat eivät voi hypätä toiselle tasolle, vaan heidän on kuljettava kerroksissa peräkkäin. (Van Hiele numeroi viisi tasoaan 0-4, kun taas amerikkalaiset tutkijat ovat luokitelleet ne uudelleen 1-5:ksi, jotta voidaan ottaa huomioon myös nollataso, jolla lapsella ei ole geometrista tietämystä).
1. Visualisointi – Lapset pystyvät tunnistamaan muotoja ulkonäön eikä ominaisuuksien perusteella. Tämän tason oppilaat eivät välttämättä näe neliötä eräänlaisena suorakulmiona eivätkä edes neliönä, jos sitä käännetään hieman.
2. Analysointi – Tällä tasolla oppilaat alkavat liittää ominaisuuksia muotoihinsa. Oppilas, jolla oli vaikeuksia tunnistaa kierretty neliö, näkee nyt, että sillä on neljä yhtenevää sivua ja neljä suoraa kulmaa ja että se on siis neliö. Vastaavasti tason yksi oppilas ponnistelee tunnistaakseen kolmion, jonka kärki osoittaa alaspäin ja pohja on ylhäällä, kun taas tason kaksi oppilas näkee, että kolme sivua tekevät siitä kolmion.
3. Abstraktio – Nyt oppilaat voivat alkaa miettiä ominaisuuksia ja soveltaa niitä väitteisiin, joihin liittyy induktiivista päättelyä. Oppilas, joka näkee, että neljällä eri kolmiolla on kaikilla sisäkulmasumma 180°, päättelee tämän kuvion perusteella, että kaikilla kolmioilla on oltava sama sisäkulmasumma.
4. Deduktio – Tällä tasolla oppilaat käyttävät deduktiivista logiikkaa todistaakseen edellisellä tasolla tekemänsä arvelut.
5. Deduktio – Tällä tasolla oppilaat käyttävät deduktiivista logiikkaa todistaakseen edellisellä tasolla tekemänsä arvelut. Tiukkuus – Tällä tasolla mennään edellistä tasoa pidemmälle ja tutkitaan negaation avulla tapahtuvaa todistamista ja ei-euklidista geometriaa.
Kuten huomaat, useimmat alaluokkien oppilaat toimivat tasolla yksi; he tunnistavat muotoja. He eivät kuitenkaan aina tee tätä sujuvasti ja tarkasti. Näytin kerran neliön 4. ja 5. luokan oppilaille ja pyysin heitä nimeämään muodon. Heillä ei ollut ongelmia kertoa minulle, että se oli neliö. Kun kuitenkin käänsin sitä niin, että se näytti baseball-timantilta, noin yhdeksän kymmenestä sanoi, että se oli nyt timantti. Loput vakuuttivat, että se oli rombi. Vain yksi yli sadasta oppilaasta pystyi sanomaan minulle oikein, että se oli edelleen neliö, ja olin vain kääntänyt sitä.
Lukion algebraa sen sijaan opetetaan tasoilla neljä ja viisi. Koska oppilaiden on kuljettava nämä tasot peräkkäin, on kuin olisimme pyytäneet heitä kiipeämään tikkaita, joilla on vain kaksi ensimmäistä ja kaksi viimeistä porrasaskelmaa ja joiden keskellä on suuri aukko.
Tämä havainnollistaa niitä vaikeuksia, joita kohtaamme geometrian opetuksessa. Neliön tunnistaminen kuuluu useimpien osavaltioiden lastentarhan standardeihin. Kuitenkin vain 1 prosentti oppilaista, joilta kysyin, tiesi viisi vuotta myöhemmin, mikä neliö on. Tämä johtuu ilmeisesti siitä, että kun heidän tekstinsä tai opettajansa näyttivät neliöitä, niissä oli yleensä sivun alareunan suuntainen perusviiva. Oppilaat eivät olleet kiinnittäneet huomiota neliöiden ominaisuuksiin.
Mutta kun esitin saman ongelman kahdeksasluokkalaisille, lähes kaikki pystyivät tunnistamaan muodon neliöksi, vaikka sitä olisi käännetty. Tämä osoittaa meille, että he eivät omaksuneet tätä tietoa päiväkodin opetuksen tuloksena, vaan pikemminkin myöhemmillä luokka-asteilla saatujen kokemusten ansiosta.
Tämäkin on hyvä uutinen, sillä se kertoo meille, että voimme nopeuttaa tätä kasvua tarjoamalla oppilaille näitä ratkaisevia kokemuksia geometriasta. Koska useimmat oppikirjat eivät kuitenkaan tarjoa näitä mahdollisuuksia, on meidän tehtävämme luoda nämä oppitunnit. Onneksi niitä on olemassa. Eräässä tulevassa blogissa tarjoan esimerkkejä välitehtävistä, jotka auttavat oppilaita kuromaan umpeen aukkoja geometrisissa tikapuissaan.