Vektori voidaan esittää järjestetyllä parilla (x,y), mutta se voidaan esittää myös sarakematriisilla:

$$\begin{bmatrix} x\\\ y \end{bmatrix}$$

Polygonit voidaan esittää myös matriisimuodossa, sijoitamme yksinkertaisesti kaikki kärkipisteiden koordinaatit yhteen matriisiin. Tätä kutsutaan kärkimatriisiksi.

Esimerkki

Neliön kärkipisteet ovat seuraavissa koordinaateissa: (1,1), (-1,1), (-1,-1) ja (1,-1). Jos haluamme luoda kärkimatriisimme, liitämme jokaisen järjestetyn parin 4-sarakkeisen matriisin jokaiseen sarakkeeseen:

$$\begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \\\\ y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}{bmatrix} 1 &-1 & -1 & 1\\\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$

Voimme käyttää matriiseja kääntääksemme kuvioomme, jos haluamme kääntää kuvion x+3 ja y+2, lisäämme yksinkertaisesti 3 kuhunkin x-koordinaattiin ja 2 kuhunkin y-koordinaattiin.

$$\\\\begin{bmatrix} x_{1}+3 & x_{2}+3 &x_{3}+3 &x_{4}+3 \\\ y_{1}+2 &y_{2}+2 &y_{2}+2 & y_{2}+2 \end{bmatrix}$$

Jos haluamme laajentaa lukua, yksinkertaisesti kerromme jokaisen x- ja y-koordinaatilla sillä mittakaavakertoimella, jolla haluamme laajentaa.

$$3\cdot \begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \\ y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix}$$

Kun haluamme luoda heijastuskuvan, kerromme kuvamme kärkimatriisin niin sanotulla heijastusmatriisilla. Yleisimmät heijastusmatriisit ovat:

heijastukselle x-akselilla

$$\begin{bmatrix} 1 & 0\\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$$

heijastukselle y-akselilla

$$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$$

heijastukseen origossa

$$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

heijastukselle suoralla y=x

$$$\begin{bmatrix} 0 & 1\\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Esimerkki

Haluamme luoda vektorin heijastuksen x-akselille.

$$$\overrightarrow{A}=\begin{bmatrix} -1 & 3\\\ 2 & -2 \end{bmatrix}$$

Luoaksemme heijastuksemme meidän on kerrottava se oikealla heijastusmatriisilla

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Siten heijastuksemme kärkimatriisi on

$$\\ \begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 3\\\ 2 & -2 \end{bmatrix}=\\\ \\\\\begin{bmatrix} (1\cdot -1)+(0\cdot2) & (1\cdot3)+(0\cdot-2)\\ (0\cdot-1)+(-1\cdot2) & (0\cdot3)+(-1\cdot-2) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & 3\\\ -2 & 2 \end{bmatrix}$$

Jos haluamme kiertää kuviota, toimimme samalla tavalla kuin heijastuksen luomisessa. Jos haluamme kääntää kuviota 90° vastapäivään, kerromme kärkimatriisin

$$$\begin{bmatrix}:llä. 0 & -1\\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$$

Jos haluamme kääntää kuviota 180° vastapäivään, kerromme kärkimatriisin

$$$\begin{bmatrix}:llä. -1 & 0\\\ 0& -1 \end{bmatrix}$$

Jos haluamme kääntää kuviota vastapäivään 270° tai myötäpäivään 90°, kerromme kärkimatriisin

$$\begin{bmatrix}:llä. 0& 1\\\ -1& 0 \end{bmatrix}$$

Videotunti

Kierretään vektoria A 90° vastapäivään ja piirretään molemmat vektorit koordinaattitasoon

$$\underset{A}{\rightarrow}=\begin{bmatrix} -1 & 2\\\ -1 & 3 \end{bmatrix}$$