Los matemáticos llevan años sospechando que, en determinadas circunstancias, las ecuaciones de Euler fallan. Pero han sido incapaces de identificar un escenario exacto en el que se produce este fallo. Hasta ahora.

Las ecuaciones son una descripción matemática idealizada de cómo se mueven los fluidos. Dentro de los límites de ciertas suposiciones, modelan la forma en que las ondas se propagan en un estanque o cómo la melaza rezuma de un frasco. Deberían ser capaces de describir el movimiento de cualquier fluido en cualquier circunstancia, y durante más de dos siglos lo han hecho.

Pero una nueva prueba descubre que, bajo ciertas condiciones, las ecuaciones fallan.

“Hace un año y medio habría dicho que esto era algo que quizá no vería en mi vida”, dijo Tarek Elgindi, matemático de la Universidad de California en San Diego y autor del nuevo trabajo.

Elgindi demostró la existencia del fallo en las ecuaciones de Euler en dos artículos publicados en Internet este año: uno en abril, que escribió él mismo, y otro en octubre, que escribió con Tej-eddine Ghoul y Nader Masmoudi. Juntos, los trabajos han puesto en entredicho siglos de suposiciones sobre estas famosas ecuaciones de fluidos.

“Creo que es un gran y maravilloso logro”, dijo Peter Constantin, matemático de la Universidad de Princeton.

El trabajo de Elgindi no es una sentencia de muerte para las ecuaciones de Euler. Más bien, demuestra que, bajo un conjunto muy particular de circunstancias, las ecuaciones se sobrecalientan, por así decirlo, y empiezan a dar resultados sin sentido. En condiciones más realistas, las ecuaciones siguen siendo, por ahora, invulnerables.

Pero la excepción que encontró Elgindi es sorprendente para los matemáticos, porque se produjo en condiciones en las que antes pensaban que las ecuaciones siempre funcionaban.

“En general, creo que la gente está bastante sorprendida por el ejemplo de Tarek”, dijo Vlad Vicol, matemático de la Universidad de Nueva York.

El estallido de Euler

Leonhard Euler descubrió las ecuaciones de fluidos que ahora llevan su nombre en 1757. Describen la evolución de un fluido a lo largo del tiempo, igual que las ecuaciones de Newton describen el movimiento de una bola de billar sobre una mesa.

Más exactamente, las ecuaciones especifican el movimiento instantáneo de partículas infinitesimales en un fluido. Esta descripción incluye la velocidad de una partícula (lo rápido que se mueve y en qué dirección) y la cantidad relacionada conocida como su vorticidad (lo rápido que gira, como una peonza, y en qué dirección).

Colectivamente, esta información forma un “campo de velocidad”, que es una instantánea del movimiento de un fluido en un momento dado. Las ecuaciones de Euler comienzan con un campo de velocidad inicial y predicen cómo cambiará en cada momento en el futuro.

Las ecuaciones de Euler no son una descripción literal de un fluido del mundo real. Incluyen varias suposiciones no físicas. Por ejemplo, las ecuaciones sólo funcionan si las corrientes internas de un fluido no generan fricción al pasar unas por otras. También suponen que los fluidos son “incompresibles”, lo que significa que, según las reglas de las ecuaciones de Euler, no se puede apretar un fluido en un espacio más pequeño que el que ya ocupa.

“Podemos pensar en el modelo como un cierto mundo idealizado y en las ecuaciones como las reglas del movimiento en este mundo”, escribió Vladimir Sverak, de la Universidad de Minnesota, en un correo electrónico.

Estas condiciones poco naturales llevaron al matemático y físico John von Neumann a bromear diciendo que las ecuaciones modelan “agua seca”. Para modelar el movimiento de un fluido más realista con fricción interna (o viscosidad), los investigadores utilizan en su lugar las ecuaciones de Navier-Stokes.

“Las ecuaciones de Euler están muy idealizadas. Los fluidos reales tienen fricción”, dijo Constantin.

Pero las ecuaciones de Euler siguen ocupando un lugar venerable en la ciencia. A los investigadores les gustaría saber si las ecuaciones funcionan inequívocamente dentro de este mundo idealizado, incompresible y sin fricción, es decir, si pueden describir todos los estados futuros de cada campo de velocidad inicial posible. O, dicho de otro modo: ¿Existen movimientos de fluidos que estas ecuaciones supuestamente universales no puedan modelar?

“La pregunta básica es: ¿pueden las ecuaciones hacer siempre su trabajo?”, dijo Sverak.

En teoría, una vez que se introducen valores para el estado actual de un fluido, las ecuaciones producirán valores exactos para un estado futuro. Entonces puedes volver a introducir esos nuevos valores en las ecuaciones y ampliar tu previsión. Normalmente, el proceso funciona, aparentemente tan lejos en el futuro como se quiera mirar.

Pero también es posible que en circunstancias muy raras, las ecuaciones se rompan. Podrían estar avanzando, produciendo resultados que funcionen como entradas futuras, cuando las cosas empiezan a ir mal y las ecuaciones finalmente producen un valor con el que no pueden seguir calculando. En estas situaciones, los matemáticos dicen que las ecuaciones “explotan”.

Si las ecuaciones de Euler explotaran, sería porque están amplificando la velocidad o la vorticidad de un punto de una manera muy poco natural. La amplificación sería tan extrema que en una cantidad finita de tiempo, la velocidad o vorticidad en un punto se volvería infinita. Y una vez que las ecuaciones produjeran un valor infinito, se estrellarían y serían incapaces de describir cualquier otro estado futuro. Esto se debe a que, por lo general, no se puede calcular con valores infinitos más de lo que se puede dividir por cero. (Los valores sobrepasarían la velocidad de la luz por el camino, pero en este mundo idealizado eso está bien.)

Estos valores infinitos fatales se llaman “singularidades”. Cuando los matemáticos preguntan: “¿Funcionan siempre las ecuaciones de Euler?”, en realidad están preguntando: “¿Existen escenarios bajo los cuales las ecuaciones de Euler produzcan singularidades?”

Muchos matemáticos creen que la respuesta es afirmativa, pero nunca han sido capaces de encontrar un escenario específico en el que las ecuaciones realmente estallen.

“Sientes que Euler trata de evitar . Hasta ahora lo ha conseguido”, dijo Constantin.

El nuevo trabajo no demuestra que las ecuaciones produzcan singularidades en las condiciones exactas que más preocupan a los matemáticos. Pero es el resultado más cercano hasta ahora a ese objetivo. Para conseguirlo, Elgindi consideró un modelo simplificado de cómo se mueven los fluidos.

Reducción de la complejidad

Los matemáticos tienen muchas formas diferentes de reducir la complejidad del movimiento de los fluidos que piden que modelen las ecuaciones de Euler. Muchos de los resultados más interesantes, como el de Elgindi, consisten en demostrar hasta qué punto se puede simplificar el comportamiento de un fluido -es decir, hasta qué punto se pueden simplificar los datos que se introducen en las ecuaciones- y, al mismo tiempo, conseguir decir algo significativo sobre las propias ecuaciones.

En un fluido tridimensional real, como el agua de un estanque, cualquier partícula tiene tres ejes a lo largo de los cuales puede moverse: el eje x (izquierda o derecha), el eje y (arriba o abajo) y el eje z (hacia atrás o hacia delante). Eso es mucha libertad de movimiento. Además, no hay necesariamente ninguna relación fuerte entre el movimiento de las partículas en diferentes partes del fluido.

“Es demasiado para seguir la pista”, dijo Elgindi.

En su nuevo trabajo, Elgindi simplifica el trabajo que pide a las ecuaciones de Euler. Requiere que el fluido muestre simetría alrededor del eje z, algo que generalmente no se encuentra en un fluido real. Esta simetría facilita el cálculo del campo de velocidad, porque se sabe que los puntos a ambos lados del eje z son imágenes especulares entre sí. Así que si conoces la velocidad o la vorticidad en un punto, todo lo que tienes que hacer es invertir el signo de los valores y sabrás los valores en un segundo punto.

También restringe el rango de movimiento disponible para los puntos del fluido. Se permite que las partículas se muevan en dos direcciones generales, ya sea a lo largo del eje z o hacia o lejos del eje z. No se les permite girar alrededor del eje z. Los matemáticos dicen que un fluido de este tipo “no tiene remolino”.

“Reduce el problema básicamente a uno bidimensional”, dijo Elgindi.

Por último, Elgindi pone ciertas estipulaciones adicionales en los datos iniciales que introduce en las ecuaciones de Euler. Los datos son más duros, en cierto sentido, que los valores que describen los fluidos del mundo real, y hacen más probable la formación de singularidades.

En la vida real, si se mueve una distancia muy pequeña desde un punto de un fluido a otro, la velocidad en el segundo punto es muy similar a la velocidad en el primero. Del mismo modo, las vorticidades en los dos puntos deberían ser muy similares. Los matemáticos dicen que los campos de velocidad con esta propiedad son “suaves”, lo que significa que los valores varían continuamente -suavemente- a medida que se pasa de un punto a otro. No hay cambios rápidos.

Ese no es el caso en las descripciones de Elgindi de un fluido.

“La vorticidad en los datos de Tarek puede variar más dramáticamente”, dijo Vicol. “Los puntos cercanos tienen vorticidades muy diferentes”.

Las simplificaciones de Elgindi pueden parecer que se alejan demasiado del comportamiento real de los fluidos para ser útiles. Pero son mucho más suaves que muchos escenarios simplificados bajo los cuales los matemáticos han obtenido anteriormente conocimientos sobre las ecuaciones de Euler.

De hecho, Elgindi demostró que bajo estas condiciones simplificadas -pero no demasiado simplificadas-, las ecuaciones de Euler empiezan a producir resultados muy inesperados.

Se acabó el juego

Para entender el descubrimiento de Elgindi, imaginemos un tanque de agua. Esto es un poco engañoso, porque el trabajo de Elgindi es sobre fluidos que no tienen límites, lo que significa que flotan como una mancha en el espacio. Pero para visualizar el escenario en el que se basa su trabajo, es útil situar el agua en un tanque. Las conjeturas matemáticas más importantes -y las más difíciles de demostrar- implican fluidos sin fronteras.

A continuación, imagine dos gruesos anillos de agua en los extremos opuestos del tanque. Los anillos se forman como remolinos o torbellinos: perturbaciones organizadas dentro del cuerpo principal del fluido. Son un tipo de fenómeno que se da realmente en la naturaleza, y se parecen a los anillos que pueden producir los fumadores expertos.

Imagina ahora los anillos opuestos moviéndose el uno hacia el otro.

Mientras avanzan, las ecuaciones de Euler operan normalmente en el fondo, calculando los campos de velocidad que describen el fluido en cada momento. Pero cuando los anillos se acercan el uno al otro, las ecuaciones comienzan a reportar algunos valores salvajes.

Muestran que los anillos se atraen entre sí con una intensidad cada vez mayor – y en particular, muestran que las partes más internas de los anillos se atraen y tiran entre sí con una fuerza aún mayor que las partes más externas de los anillos. Como resultado, los anillos se alargan, estirándose hasta parecerse a un par de embudos. A medida que sus centros se acercan más y más, sus velocidades son cada vez más rápidas. Entonces chocan.

Y si en ese momento exacto se observa el campo de velocidades que describe la colisión, se verá algo que nadie ha visto bajo este conjunto de supuestos en la historia de las ecuaciones de Euler: una singularidad. Elgindi demostró que las ecuaciones de Euler calculan una vorticidad infinita en el punto de colisión. Se acabó el juego.

“La forma clásica de las ecuaciones se rompe”, dijo Elgindi. “Después de eso no se sabe lo que pasa”

El resultado tiene algunas limitaciones. A saber, es imposible extrapolar a partir de su prueba el comportamiento de las ecuaciones de Euler bajo las condiciones completamente “suaves”. Esto se debe a que los matemáticos demostraron hace décadas que, en condiciones suaves, el escenario que considera Elgindi no produce una singularidad.

Pero en otros aspectos, su resultado cambia por completo la forma en que los matemáticos ven estas viejas ecuaciones.

Antes del trabajo de Elgindi, los matemáticos nunca habían demostrado la existencia de ninguna situación, sin frontera, en la que las ecuaciones de Euler funcionaran durante un corto periodo de tiempo (cuando los anillos se acercan entre sí) pero no para siempre. En todos los trabajos anteriores, los matemáticos habían comprobado que si las ecuaciones funcionaban, lo hacían para siempre.

“Es un resultado bastante notable porque demuestra que hay singularidades en un escenario que es lo que llamamos ‘bien planteado’. Tiene sentido y, sin embargo, se obtiene esta singularidad en tiempo finito”, dijo Constantin.

Muchas generaciones de científicos han buscado un punto débil en las ecuaciones de Euler. Por fin, un matemático ha encontrado uno -con reservas-.