Cuando una empresa produce bienes o servicios, incurre en costes asociados a la producción de estos bienes y servicios. Algunos de estos costes son variables y cambian según la producción. Elementos como las materias primas, la mano de obra y el coste de los servicios públicos varían a medida que cambia la producción y se denominan costes variables. Otros costes, como los pagos de los arrendamientos y los seguros, son fijos. A medida que cambia la producción, estos costes fijos no varían.

El coste total es la suma de los costes variables y fijos,

Coste total = Coste variable + Coste fijo

Un modelo sencillo para el coste total es un modelo lineal. En un modelo lineal, el término que contiene la variable corresponde al coste variable y el término constante corresponde al coste fijo.

donde se producen Q unidades. La constante a es el coste por unidad y b son los costes fijos.

Otro modelo para el coste es un modelo cuadrático.

En este modelo, los términos con variables modelan el coste variable y la constante c modela el coste fijo.

Las empresas suelen buscar el éxito bajando sus costes. Sin embargo, esto no significa bajar la función de coste total. El coste total más bajo se produciría si no se produjera ninguna unidad. Por lo general, las empresas buscan reducir su coste medio.

En otras palabras, el coste medio de producir Q unidades es el coste total de producir Q unidades dividido por el número de unidades producidas Q.

Veamos un ejemplo rápido. Supongamos que una empresa produce un único producto llamado tostadora solar. A la empresa le cuesta 20 dólares producir cada tostadora solar y la empresa tiene 50 dólares de costes fijos diarios. Si la empresa produce Q tostadoras solares cada día, podemos escribir el coste total diario como

TC (Q) = 20Q + 5050 dólares

Nótese que esta función se ha definido sobre una base diaria, ya que el coste fijo se da sobre una base diaria. También podríamos definir los costes totales anuales modificando adecuadamente la descripción de las variables y los costes fijos. Mientras el coste por unidad sea constante sobre una base anual, esto también es razonable.

Si queremos saber el coste total diario de producir 100 tostadoras al día, calcularíamos

TC (100) = 20(100) + 5050 = 7050 dólares

El coste medio diario de producir 100 tostadoras al día es

Esto nos dice que cada tostadora solar cuesta 70,50 dólares aunque el coste de los materiales y la mano de obra sea sólo de 20 dólares por tostadora. Esto se debe a que el coste medio tiene en cuenta el elevado coste fijo diario. Sin embargo, el coste medio de producir 200 tostadoras es

Aunque el coste diario total de producir tostadoras es mayor cuando se hacen 200 tostadoras cada día, el coste medio es menor.

Podemos utilizar la función de coste medio

para encontrar el coste medio a cualquier nivel de producción.

Esta función se utiliza para determinar la tasa a la que cambia la función de coste medio.

Ejemplo 5. Encuentre la función de coste medio

El coste de los bienes y servicios en Verizon viene dado por la función

TC(Q) = 490,268Q + 2367,072 millones de dólares

donde Q es el número de abonados residenciales e inalámbricos en millones.

a. Encuentre la función de coste medio TC(Q) .

Solución. La función de coste medio se forma dividiendo el coste entre la cantidad. en el contexto de esta aplicación, la función de coste medio es

Coloque la expresión del coste en el numerador para obtener

b. Hallar e interpretar TC(50).

Solución. El valor de la función se obtiene sustituyendo Q = 50 en la función de coste medio

El numerador en la función de coste medio tiene unidades de millones de dólares y el denominador tiene unidades de millones de abonados. Al dividir las unidades se obtiene

Entonces TC(50) ≈ 537.61 significa que cuando Verizon tiene 50 millones de suscriptores, su costo promedio por suscriptor es de 537.61 dólares por suscriptor.

c. Encuentre la derivada de la función de coste medio TC'(Q).

Solución. Podemos aplicar la Regla del Cociente para Derivadas con

u = 490,268Q + 2367,072 y v = Q. Las derivadas del numerador y del denominador son

Usando la Regla del Cociente, obtenemos la derivada

d. Encuentre e interprete el coste medio marginal TC ′(50).

Esta tasa indica la rapidez con la que cambia el coste medio al aumentar el número de abonados. Las unidades de esta tasa son

El valor TC ′(50) ≈ -0,95 nos dice que a un nivel de suscriptores de 50 millones, el coste medio disminuye en 0,95 dólares por suscriptor por cada millón de suscriptores adicionales.