Vetenskapsmän tar numera för givet att varje mätning är behäftad med fel så att upprepningar av till synes samma experiment ger olika resultat. I det intellektuella klimatet på Galileos tid, när logiska syllogismer som inte medgav någon gråzon mellan rätt och fel var det accepterade sättet att dra slutsatser, var hans nya förfaranden dock långt ifrån övertygande. När man bedömer hans arbete måste man komma ihåg att de konventioner som nu accepteras för att rapportera vetenskapliga resultat antogs långt efter Galileos tid. Om han alltså, som det sägs, uppgav som ett faktum att två föremål som släpptes från det lutande tornet i Pisa nådde marken tillsammans med inte så mycket som en handbredd mellan dem, behöver man inte dra slutsatsen att han utförde experimentet själv eller att, om han gjorde det, resultatet var lika perfekt. Ett sådant experiment hade faktiskt utförts lite tidigare (1586) av den flamländske matematikern Simon Stevin, men Galileo idealiserade resultatet. En lätt boll och en tung boll når inte marken tillsammans, och skillnaden mellan dem är inte heller alltid densamma, eftersom det är omöjligt att reproducera idealet att släppa dem exakt i samma ögonblick. Galileo var dock nöjd med att det låg närmare sanningen att säga att de föll tillsammans än att det fanns en betydande skillnad mellan deras hastigheter. Denna idealisering av ofullkomliga experiment förblir en viktig vetenskaplig process, även om det numera anses lämpligt att presentera (eller åtminstone ha tillgängliga för granskning) de primära observationerna, så att andra självständigt kan bedöma om de är beredda att acceptera författarens slutsats om vad som skulle ha observerats i ett idealt genomfört experiment.

Principerna kan illustreras genom att, med fördel av moderna instrument, upprepa ett experiment som Galileo själv utförde, nämligen att mäta den tid det tog för en boll att rulla olika långa sträckor nedför en lätt lutande kanal. Följande redogörelse är ett verkligt experiment som syftar till att i ett mycket enkelt exempel visa hur idealiseringsprocessen fortskrider och hur de preliminära slutsatserna sedan kan utsättas för ett mer ingående test.

Linjer med lika stora avstånd på 6 cm ritades in på en mässingskanal, och kulan hölls i vila vid sidan av den högsta linjen med hjälp av ett kort. En elektronisk timer startades i samma ögonblick som kortet togs bort, och timern stoppades när bollen passerade en av de andra linjerna. Sju upprepningar av varje tidtagning visade att mätningarna vanligtvis spreds över ett intervall på 1/20 av en sekund, förmodligen på grund av mänskliga begränsningar. I ett sådant fall, där en mätning är föremål för slumpmässiga fel, ger genomsnittet av många upprepningar en förbättrad uppskattning av vad resultatet skulle bli om källan till slumpmässiga fel eliminerades; den faktor med vilken uppskattningen förbättras är ungefär kvadratroten av antalet mätningar. Dessutom gör den felteori som kan tillskrivas den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss det möjligt att göra en kvantitativ uppskattning av resultatets tillförlitlighet, vilket i tabellen uttrycks med den konventionella symbolen ±. Detta betyder inte att det första resultatet i kolumn 2 garanterat ligger mellan 0,671 och 0,685, men att om denna bestämning av medelvärdet av sju mätningar skulle upprepas många gånger, skulle ungefär två tredjedelar av bestämningarna ligga inom dessa gränser.

Den grafiska framställningen av mätningar, som i figur 1, var inte tillgänglig för Galileo, men utvecklades strax efter hans tid som en följd av den franske matematikern och filosofen René Descartes arbete. Punkterna verkar ligga nära en parabel, och den kurva som ritas upp definieras av ekvationen x = 12t2. Anpassningen är inte helt perfekt, och det är värt att försöka hitta en bättre formel. Eftersom det är olika hur timern startas när kortet tas bort för att låta bollen rulla och hur den stoppas när bollen passerar ett märke, finns det en möjlighet att det, förutom slumpmässiga tidsfel, förekommer ett systematiskt fel i varje uppmätt värde på t; det vill säga att varje mätning t kanske ska tolkas som t + t0, där t0 är ett ännu okänt konstant tidsfel. Om detta är fallet skulle man kunna undersöka om de uppmätta tiderna inte är relaterade till avståndet med x = at2, där a är en konstant, utan med x = a(t + t0)2. Detta kan också testas grafiskt genom att först skriva om ekvationen till Kvadratroten av√x = Kvadratroten av√a(t + t0), vilket innebär att när värdena för Kvadratroten av√x plottas mot de uppmätta värdena för t bör de ligga på en rät linje. Figur 2 verifierar denna förutsägelse ganska nära; linjen passerar inte genom origo utan skär tvärtom den horisontella axeln vid -0,09 sekund. Av detta drar man slutsatsen att t0 = 0,09 sekund och att (t + 0,09)x bör vara detsamma för alla de mätningspar som anges i den medföljande tabellen . Den tredje kolumnen visar att detta verkligen är fallet. Konstansen är faktiskt bättre än vad man hade kunnat förvänta sig med tanke på de uppskattade felen. Detta måste betraktas som en statistisk tillfällighet; det innebär inte någon större säkerhet i formelns riktighet än om siffrorna i den sista kolumnen hade legat mellan 0,311 och 0,315, vilket de mycket väl hade kunnat göra. Man skulle bli förvånad om en upprepning av hela experimentet igen gav ett så nästan konstant resultat.

En möjlig slutsats är då att de uppmätta tiderna av någon anledning – troligen observationsbias – underskattar den verkliga tiden t det tar för en boll, som utgår från vila, att förflytta sig en sträcka x. Om så är fallet skulle x under idealiska förhållanden vara strikt proportionell mot t2. Ytterligare experiment, där kanalen ställs in i olika men ändå svaga lutningar, tyder på att den allmänna regeln har formen x = at2, där a är proportionell mot lutningen. Denna tentativa idealisering av de experimentella mätningarna kan behöva ändras, eller till och med förkastas, i ljuset av ytterligare experiment. Men nu när den har gjutits i matematisk form kan den analyseras matematiskt för att avslöja vilka konsekvenser den innebär. Dessutom kommer detta att föreslå sätt att testa den mer sökande.

Utifrån en graf som figur 1, som visar hur x beror på t, kan man härleda bollens momentana hastighet vid varje ögonblick. Detta är lutningen på den tangent som dras till kurvan vid det valda värdet av t. Vid t = 0,6 sekund, till exempel, beskriver den ritade tangenten hur x skulle vara relaterat till t för en boll som rör sig med en konstant hastighet på cirka 14 cm per sekund. Den lägre lutningen före detta ögonblick och den högre lutningen efter detta ögonblick visar att bollen accelererar stadigt. Man skulle kunna rita tangenter vid olika värden på t och komma fram till att den momentana hastigheten var ungefär proportionell mot den tid som förflutit sedan bollen började rulla. Detta förfarande, med dess oundvikliga felaktigheter, blir onödigt om man tillämpar elementär kalkyl på den förmodade formeln. Den momentana hastigheten v är derivatan av x med avseende på t; om

Den implicita slutsatsen att hastigheten är strikt proportionell mot den förflutna tiden är att en graf av v mot t skulle vara en rät linje genom origo. På varje graf av dessa storheter, oavsett om den är rak eller inte, visar tangentens lutning i varje punkt hur hastigheten förändras med tiden vid det ögonblicket; detta är den momentana accelerationen f. För en rätlinjig graf av v mot t är lutningen och därmed accelerationen densamma vid alla tidpunkter. Matematiskt uttryckt är f = dv/dt = d2x/dt2; i det aktuella fallet antar f det konstanta värdet 2a.

Den preliminära slutsatsen är alltså att en boll som rullar nedför en rak sluttning upplever en konstant acceleration och att accelerationens storlek är proportionell mot lutningen. Det är nu möjligt att testa slutsatsens giltighet genom att ta reda på vad den förutsäger för ett annat experimentellt arrangemang. Om möjligt sätts ett experiment upp som möjliggör noggrannare mätningar än de som ledde till den preliminära slutsatsen. Ett sådant test kan göras med en kula som rullar i en krökt kanal så att dess centrum följer en cirkelbåge med radien r, som i figur 3. Förutsatt att bågen är ytlig är lutningen på ett avstånd x från dess lägsta punkt mycket nära x/r, så att bollens acceleration mot den lägsta punkten är proportionell mot x/r. Genom att införa c för att representera proportionalitetskonstanten skrivs detta som en differentialekvation

Här konstateras att på en graf som visar hur x varierar med t är krökningen d2x/dt2 proportionell mot x och har motsatt tecken, vilket illustreras i figur 4. När grafen korsar axeln är x och därmed krökningen noll, och linjen är lokalt rak. Denna graf representerar bollens svängningar mellan ytterligheter av ±A efter att den har släppts från x = A vid t = 0. Lösningen på den differentialekvation som diagrammet är den grafiska representationen av är

där ω, som kallas vinkelfrekvensen, skrivs för Kvadratroten av√(c/r). Det tar tid T = 2π/ω = 2πKvadratrot av√(r/c) för bollen att återvända till sitt ursprungliga viloläge, varefter svängningen upprepas på obestämd tid eller tills friktionen får bollen att vila.

Enligt den här analysen är perioden, T, oberoende av amplituden av svängningen, och denna tämligen oväntade förutsägelse är en förutsägelse som kan testas stringent. Istället för att låta bollen rulla på en krökt kanal kan samma bana realiseras enklare och mer exakt genom att göra den till bobben i en enkel pendel. För att testa att perioden är oberoende av amplituden kan två pendlar göras så nästan identiska som möjligt, så att de håller jämna steg när de svänger med samma amplitud. De svänger sedan med olika amplituder. Det krävs stor noggrannhet för att upptäcka någon skillnad i period om inte den ena amplituden är stor, då perioden är något längre. En observation som mycket nära överensstämmer med förutsägelsen, men inte helt, visar inte nödvändigtvis att det ursprungliga antagandet är felaktigt. I det här fallet var den differentialekvation som förutspådde exakt konstant period i sig själv en approximation. När den omformuleras med det sanna uttrycket för lutningen i stället för x/r, visar lösningen (som inbegriper ganska tung matematik) en variation av perioden med amplituden som har verifierats rigoröst. Långt ifrån att vara misskrediterat har det tentativa antagandet kommit fram med ökat stöd.

Galileos accelerationslag, den fysiska grunden för uttrycket 2πKvadratrot av√(r/c) för perioden, stärks ytterligare genom att konstatera att T varierar direkt som kvadratroten av r-i.e.,

Dessa mätningar gör det dessutom möjligt att bestämma värdet av konstanten c med hög precision, och det konstateras att den sammanfaller med accelerationen g hos en fritt fallande kropp. Faktum är att formeln för perioden för små svängningar hos en enkel pendel med längden r, T = 2πKvadratroten av√(r/g), ligger till grund för några av de mest exakta metoderna för att mäta g. Detta skulle inte ha hänt om inte forskarsamhället hade accepterat Galileos beskrivning av det ideala beteendet och inte förväntat sig att bli skakad i sin tro av små avvikelser, så länge de kunde förstås som att de återspeglade oundvikliga slumpmässiga diskrepanser mellan idealet och dess experimentella förverkligande. Utvecklingen av kvantmekaniken under 1900-talets första fjärdedel stimulerades av att man motvilligt accepterade att denna beskrivning systematiskt misslyckades när den tillämpades på objekt av atomstorlek. I det här fallet handlade det inte, som i fallet med periodvariationer, om att översätta de fysikaliska idéerna till matematik på ett mer exakt sätt; hela den fysikaliska grunden behövde ses över radikalt. Ändå kastades inte de tidigare idéerna ut – de hade visat sig fungera bra i alldeles för många tillämpningar för att kastas bort. Vad som dök upp var en tydligare förståelse av de omständigheter under vilka deras absoluta giltighet säkert kunde antas.