Vad är ren matematik? Vad gör rena matematiker? Varför är ren matematik viktig?

Detta är frågor som jag ofta konfronteras med när folk upptäcker att jag sysslar med ren matematik.

Jag lyckas alltid ge ett svar, men det verkar aldrig vara helt tillfredsställande.

Så jag ska försöka ge ett mer formulerat och moget svar på dessa tre frågor. Jag ber i förväg om ursäkt för de förenklingar jag har varit tvungen att göra för att vara kortfattad.

I stort sett finns det två olika typer av matematik (och jag kan redan höra protester) – ren matematik och tillämpad matematik. Filosofer som Bertrand Russell försökte ge rigorösa definitioner av denna indelning.

Jag fångar distinktionen i följande, något kryptiska, uttalande: rena matematiker bevisar satser och tillämpade matematiker konstruerar teorier.

Vad detta innebär är att det paradigm i vilket matematiken utförs av de två grupperna av människor är olika.

Rena matematiker drivs ofta av abstrakta problem. För att göra det abstrakta konkret kommer här ett par exempel: “Finns det oändligt många tvillingprimer?” eller “Har varje sant matematiskt påstående ett bevis?”.

För att vara mer exakt, matematiken bygger på axiom, och den matematiska sanningens natur styrs av predikatlogiken.

En matematisk sats är ett sant påstående som åtföljs av ett bevis som illustrerar dess sanning bortom allt tvivel genom deduktion med hjälp av logik.

Till skillnad från en empirisk teori räcker det inte med att bara konstruera en förklaring som kan förändras när undantag uppstår.

Ett som en matematiker misstänker för att vara sant på grund av bevis, men inte bevis, är helt enkelt en gissning.

Applicerad

Applicerade matematiker motiveras vanligtvis av problem som uppstår i den fysiska världen. De använder matematik för att modellera och lösa dessa problem.

Dessa modeller är egentligen teorier och, som med all vetenskap, är de föremål för testbarhet och falsifierbarhet. I takt med att mängden information om problemet ökar kommer dessa modeller eventuellt att förändras.

Rent och tillämpat utesluter inte nödvändigtvis varandra. Det finns många stora matematiker som trampar på båda dessa områden.

Pur

Det finns många problem som eftersträvas av rena matematiker som har sina rötter i konkreta fysikaliska problem – särskilt de som uppstår i samband med relativitetsteori eller kvantmekanik.

Typiskt sett uppstår i en djupare förståelse av sådana fenomen olika “teknikaliteter” (tro mig när jag säger att dessa teknikaliteter är mycket svåra att förklara). Dessa blir abstraherade till rent matematiska påståenden som rena matematiker kan angripa.

Lösningen av dessa matematiska problem kan sedan få viktiga tillämpningar.

Ok dator

Låt mig ge ett konkret exempel på hur abstrakt tänkande ledde till utvecklingen av en anordning som ligger till grund för det moderna samhällets funktioner: datorn.

De tidigaste datorerna var fast programmerade – det vill säga de var specialbyggda för att utföra endast en uppgift. Att ändra programmet var en mycket kostsam och omständlig sak.

De moderna resterna av en sådan dinosaurie skulle vara en fickräknare, som är byggd för att endast utföra grundläggande aritmetik. Med en modern dator kan man däremot ladda in ett miniräknarprogram, eller ett ordbehandlingsprogram, och man behöver inte byta maskin för att göra det.

Detta paradigmskifte skedde i mitten av 1940-talet och kallas det lagrade programmet eller von Neumann-arkitekturen.

Den allmänt tillgängliga, men mindre kända historien är att detta koncept har sina rötter i undersökningen av ett abstrakt matematiskt problem som kallas Entscheidungsproblem (beslutsproblem).

Det beslutsproblemet formulerades 1928 av den berömde matematikern David Hilbert.

Det kan ungefär översättas till följande: “Finns det ett förfarande som kan avgöra om ett matematiskt påstående är sant eller falskt i ett ändligt antal steg?”.

Detta besvarades negativt av Alonzo Church och Alan Turing oberoende av varandra 1936 och 1937. I sin uppsats formulerar Turing en abstrakt maskin, som vi nu kallar Turingmaskinen.

Maskinen har ett oändligt långt band (minne), ett huvud som kan förflytta sig ett steg i taget, läsa från och skriva till bandet, en ändlig instruktionstabell som ger instruktioner till huvudet och en ändlig uppsättning tillstånd (såsom “acceptera” eller “förneka”). Man startar maskinen med inmatning på bandet.

En sådan maskin kan inte existera utanför matematikens område eftersom den har ett oändligt långt band.

Men den är det verktyg som används för att definiera begreppet beräkningsbarhet. Det vill säga, vi säger att ett problem är beräkningsbart om vi kan koda det med hjälp av en Turingmaskin.

Man kan då se parallellerna mellan en Turingmaskin och en maskin med fast program.

Antag nu att det finns en Turingmaskin U som kan ta instruktionstabellen och tillstånden för en godtycklig Turingmaskin T (lämpligt kodad), och på samma band inmatning I till T, och köra Turingmaskinen T på inmatningen I.

En sådan maskin kallas en universell Turingmaskin.

I sin uppsats från 1937 bevisar Turing en viktig existenssats: det finns en universell Turingmaskin. Detta är nu parallellen till konceptet för lagringsprogram, grunden för den moderna programmerbara datorn.

Det är anmärkningsvärt att ett abstrakt problem som rör matematikens grunder lade grunden till den moderna datorns tillkomst.

Det är kanske ett kännetecken för den rena matematiken att matematikern inte begränsas av den fysiska världens begränsningar och kan vädja till fantasin för att skapa och konstruera abstrakta objekt.

Det betyder inte att den rena matematikern inte formaliserar fysiska begrepp som energi, entropi etcetera för att göra abstrakt matematik.

I vilket fall som helst bör detta exempel illustrera att strävan efter rent matematiska problem är ett värdefullt syfte som kan vara av enormt värde för samhället.