Matematiker har i åratal misstänkt att Eulers ekvationer under vissa omständigheter inte fungerar. Men de har inte kunnat identifiera ett exakt scenario där detta misslyckande inträffar. Tills nu.

Ekvationerna är en idealiserad matematisk beskrivning av hur vätskor rör sig. Inom ramen för vissa antaganden modellerar de hur krusningar fortplantar sig på en damm eller hur melass sipprar ut ur en burk. De borde kunna beskriva rörelsen hos vilken vätska som helst under alla omständigheter – och i mer än två århundraden har de gjort det.

Men ett nytt bevis visar att ekvationerna misslyckas under vissa förhållanden.

“För ett och ett halvt år sedan skulle jag ha sagt att det här var något som jag kanske inte skulle få se under min livstid”, säger Tarek Elgindi, matematiker vid University of California, San Diego och författare till det nya arbetet.

Elgindi bevisade förekomsten av felet i Eulers ekvationer i två artiklar som lagts ut på nätet i år – en i april, som han skrev själv, och en i oktober, som han skrev tillsammans med Tej-eddine Ghoul och Nader Masmoudi. Tillsammans har dessa artiklar omintetgjort århundraden av antaganden om dessa berömda fluidekvationer.

“Jag tycker att det är en stor, underbar prestation”, säger Peter Constantin, matematiker vid Princeton University.

Elgindis arbete är inte en dödsstöten för Eulerekvationerna. Snarare bevisar han att under en mycket speciell uppsättning omständigheter överhettas ekvationerna, så att säga, och börjar producera nonsens. Under mer realistiska förhållanden är ekvationerna fortfarande, för tillfället, osårbara.

Men det undantag som Elgindi fann är häpnadsväckande för matematikerna, eftersom det inträffade under förhållanden där de tidigare trodde att ekvationerna alltid fungerade.

“I allmänhet tror jag att folk är ganska förvånade över Tareks exempel”, säger Vlad Vicol, matematiker vid New York University.

Eulers uppblåsning

Leonhard Euler upptäckte 1757 de vätskekvationer som nu bär hans namn. De beskriver utvecklingen av en vätska över tiden, precis som Newtons ekvationer beskriver rörelsen hos en biljardkula på ett bord.

Mera exakt anger ekvationerna den ögonblickliga rörelsen hos oändligt små partiklar i en vätska. Beskrivningen omfattar en partikels hastighet (hur snabbt den rör sig och i vilken riktning) och den relaterade kvantitet som kallas vorticitet (hur snabbt den snurrar, som en topp, och i vilken riktning).

Denna information bildar tillsammans ett “hastighetsfält”, som är en ögonblicksbild av en vätskas rörelse vid en viss tidpunkt. Eulers ekvationer börjar med ett initialt hastighetsfält och förutsäger hur det kommer att förändras vid varje tidpunkt i framtiden.

Eulers ekvationer är inte en bokstavlig beskrivning av en verklig vätska. De innehåller flera icke-fysiska antaganden. Ekvationerna fungerar till exempel bara om interna strömmar i en vätska inte genererar friktion när de rör sig förbi varandra. De antar också att vätskor är “inkompressibla”, vilket innebär att enligt Eulers ekvationer kan man inte pressa in en vätska i ett mindre utrymme än det den redan upptar.

“Vi kan se modellen som en viss idealiserad värld och ekvationerna som rörelsereglerna i denna värld”, skrev Vladimir Sverak från University of Minnesota i ett e-postmeddelande.

Dessa onaturliga förbehåll ledde till att matematikern och fysikern John von Neumann sade att ekvationerna modellerar “torrt vatten”. För att modellera rörelsen hos en mer realistisk vätska med inre friktion (eller viskositet) använder forskarna i stället Navier-Stokes-ekvationerna.

“Eulers ekvationer är mycket idealiserade. Riktiga vätskor har friktion”, säger Constantin.

Men Euler-ekvationerna har fortfarande en ärevördig plats inom vetenskapen. Forskare skulle vilja veta om ekvationerna fungerar entydigt inom denna friktionsfria, inkompressibla, idealiserade värld – det vill säga om de kan beskriva alla framtida tillstånd för varje möjligt starthastighetsfält. Eller, för att uttrycka det på ett annat sätt:

“Den grundläggande frågan är: Kan ekvationerna alltid göra sitt jobb?”, säger Sverak.

I teorin kommer ekvationerna att ge exakta värden för ett framtida tillstånd när man väl har satt in värden för det aktuella tillståndet hos en vätska. Sedan kan du koppla in dessa nya värden i ekvationerna igen och utöka din prognos. Vanligtvis fungerar processen, till synes så långt in i framtiden som man vill titta.

Men det är också möjligt att ekvationerna under mycket sällsynta omständigheter bryter samman. De kan tuffa på och producera resultat som fungerar som framtida indata, när saker och ting börjar gå snett och ekvationerna så småningom producerar ett värde som de inte kan fortsätta att beräkna med. I dessa situationer säger matematiker att ekvationerna “exploderar”.

Om Eulers ekvationer skulle explodera skulle det bero på att de förstärker en punkts hastighet eller vorticitet på ett mycket onaturligt sätt. Förstärkningen skulle vara så extrem att på en ändlig tid skulle hastigheten eller vorticiteten i en punkt bli oändlig. Och när ekvationerna väl producerar ett oändligt värde skulle de krascha och vara oförmögna att beskriva ytterligare framtida tillstånd. Detta beror på att man i allmänhet inte kan beräkna med oändliga värden lika lite som man kan dividera med noll. (Värdena skulle överträffa ljusets hastighet på vägen, men i denna idealiserade värld är det okej.)

Dessa ödesdigra oändliga värden kallas “singulariteter”. När matematiker frågar: “Fungerar Eulers ekvationer alltid?” frågar de egentligen: “Finns det scenarier under vilka Eulers ekvationer ger upphov till singulariteter?”

Många matematiker tror att svaret är ja, men de har aldrig kunnat hitta ett specifikt scenario där ekvationerna faktiskt exploderar.

“Du känner att Euler försöker undvika . Hittills har den lyckats med det”, säger Constantin.

Det nya arbetet visar inte att ekvationerna producerar singulariteter under de exakta förhållanden som matematikerna bryr sig mest om. Men det är det resultat som hittills ligger närmast det målet. För att uppnå det ansåg Elgindi att en förenklad modell av hur vätskor rör sig.

Reducering av komplexiteten

Matematiker har många olika sätt att reducera komplexiteten hos den vätskerörelse som de ber Euler-ekvationerna att modellera. Många av de mest intressanta resultaten, som Elgindis, handlar om att visa hur långt man kan förenkla en vätskas beteende – det vill säga hur långt man kan förenkla de data man matar in i ekvationerna – samtidigt som man lyckas säga något meningsfullt om själva ekvationerna.

I en riktig tredimensionell vätska, som vattnet i en damm, har varje partikel tre axlar längs vilka den kan förflytta sig: x-axeln (vänster eller höger), y-axeln (uppåt eller nedåt) och z-axeln (bakåt eller framåt). Det är mycket rörelsefrihet. Dessutom finns det inte nödvändigtvis något starkt samband mellan partiklarnas rörelse i olika delar av vätskan.

“Det är för mycket att hålla reda på”, säger Elgindi.

I sitt nya arbete förenklar Elgindi den uppgift som han ber Eulerekvationerna att hantera. Han kräver att vätskan uppvisar symmetri runt z-axeln, något som man i allmänhet inte finner i en verklig vätska. Denna symmetri gör det lättare att beräkna hastighetsfältet, eftersom man vet att punkterna på vardera sidan av z-axeln är spegelbilder av varandra. Så om du känner till hastigheten eller vorticiteten i en punkt behöver du bara vända på värdens tecken så känner du till värdena i en annan punkt.

Han begränsar också det rörelseområde som är tillgängligt för punkterna i vätskan. Partiklar tillåts röra sig i två allmänna riktningar, antingen längs z-axeln eller mot eller bort från z-axeln. De får inte snurra runt z-axeln. Matematikerna säger att en sådan vätska inte har “någon virvel”.

“Det reducerar i princip problemet till ett tvådimensionellt problem”, säger Elgindi.

För det sista ställer Elgindi vissa ytterligare krav på de initiala data som han matar in i Euler-ekvationerna. Uppgifterna är på sätt och vis grövre än de värden som beskriver verkliga vätskor, och det gör det mer sannolikt att singulariteter bildas.

I verkligheten, om man förflyttar sig ett mycket litet avstånd från en punkt i en vätska till en annan, är hastigheten vid den andra punkten mycket lik hastigheten vid den första punkten. På samma sätt bör vortiterna vid de två punkterna vara mycket lika varandra. Matematiker säger att hastighetsfält med denna egenskap är “jämna”, vilket innebär att värdena varierar kontinuerligt – jämnt – när du rör dig från en punkt till en annan. Det finns inga snabba förändringar.

Det är inte fallet i Elgindis beskrivningar av en vätska.

“Vorticiteten i Tareks data kan variera mer dramatiskt”, säger Vicol. “Närliggande punkter har mycket olika vorticiteter.”

Elgindis förenklingar kan tyckas avvika för mycket från det verkliga vätskebeteendet för att vara användbara. Men de är mycket mildare än många förenklade scenarier under vilka matematiker tidigare har fått insikter om Eulers ekvationer.

I själva verket visade Elgindi att under dessa förenklade – men inte alltför förenklade – förhållanden börjar Eulers ekvationer ge mycket oväntade resultat.

Spelet är slut

För att förstå Elgindis upptäckt kan man föreställa sig en tank med vatten. Detta är något missvisande, eftersom Elgindis arbete handlar om vätskor som inte har någon gräns, vilket innebär att de flyter som en klump i rymden. Men för att visualisera det scenario som ligger till grund för hans arbete är det användbart att placera vattnet i en tank. De viktigaste matematiska gissningarna – och de svåraste att bevisa – handlar om vätskor utan gränser.

Nästan, föreställ dig två tjocka ringar av vatten i motsatta ändar av tanken. Ringarna bildar likt virvlar eller virvlar – organiserade störningar inom vätskans huvudkropp. De är ett slags fenomen som verkligen förekommer i naturen, och de ser ut som de ringar som skickliga rökare kan producera.

Föreställ dig nu att de motsatta ringarna rör sig mot varandra.

När de rör sig framåt fungerar Eulers ekvationer normalt i bakgrunden och beräknar de hastighetsfält som beskriver vätskan vid varje tidpunkt. Men när ringarna närmar sig varandra börjar ekvationerna rapportera några vilda värden.

De visar att ringarna drar till sig varandra med allt större intensitet – och i synnerhet visar de att de innersta delarna av ringarna drar till sig och drar till sig varandra med ännu större kraft än de yttersta delarna av ringarna. Som ett resultat av detta förlängs ringarna och sträcker ut sig så att de mer liknar ett par trattar. När deras centra kommer närmare och närmare varandra blir deras hastigheter snabbare och snabbare. Sedan kraschar de.

Och om man i exakt det ögonblicket tittar på det hastighetsfält som beskriver kollisionen kommer man att se något som ingen har sett under denna uppsättning antaganden i Eulers ekvationers historia: en singularitet. Elgindi bevisade att Eulers ekvationer beräknar oändlig vorticitet vid kollisionspunkten. Game over.

“Den klassiska formen av ekvationerna bryter samman”, sade Elgindi. “Efter det vet man inte vad som händer.”

Resultatet har vissa begränsningar. Det är nämligen omöjligt att extrapolera från hans bevis till Eulerekvationernas beteende under de helt “släta” förhållandena. Detta beror på att matematiker bevisade för flera decennier sedan att under släta förhållanden ger det scenario som Elgindi överväger inte upphov till någon singularitet.

Men på andra sätt förändrar hans resultat helt och hållet det sätt på vilket matematiker ser på dessa gamla ekvationer.

För Elgindis arbete hade matematiker aldrig bevisat existensen av någon situation, utan gräns, där Eulers ekvationer fungerade under en kortare tidsperiod (när ringarna närmar sig varandra), men inte för evigt. I allt tidigare arbete hade matematikerna funnit att om ekvationerna överhuvudtaget fungerade, så fungerade de för evigt.

“Det är ett ganska anmärkningsvärt resultat eftersom det bevisar att det finns singulariteter under ett scenario som är vad vi kallar “väl ställt”. Det är vettigt, och ändå får man denna finita tidssingularitet”, säger Constantin.

Många generationer av forskare har letat efter en mjuk punkt i Eulers ekvationer. Äntligen – med förbehåll – har en matematiker hittat en sådan.