Omformatering av inmatningen :

Förändringar som gjorts i din inmatning bör inte påverka lösningen:
(1): “x2” ersattes med “x^2”.

Steg för steg-lösning :

försök att faktorisera genom att dela upp den mellersta termen

1.1 Faktorisering av x2-2x-1
Den första termen är, x2 dess koefficient är 1 .
Den mellersta termen är, -2x dess koefficient är -2 .
Den sista termen, “konstanten”, är -1
Steg-1 : Multiplicera koefficienten i den första termen med konstanten 1 – -1 = -1
Steg-2 : Hitta två faktorer av -1 vars summa är lika med koefficienten i den mellersta termen, som är -2 .

-1

+

1

=

0

Bemärkning : Det går inte att hitta två sådana faktorer !!!
Slutsats: Trinomialet kan inte faktoriseras

Svenska i slutet av steg 1 :

 x2 - 2x - 1 = 0 

Steg 2 :

Parabola, hitta hörnet :

2.1 Hitta hörnet till y = x2-2x-1
Paraboler har en högsta eller lägsta punkt som kallas för hörnet . Vår parabel öppnar sig och har följaktligen en lägsta punkt (AKA absolut minimum) . Vi vet detta redan innan vi har plottat “y” eftersom koefficienten för den första termen, 1 , är positiv (större än noll).
Varje parabel har en vertikal symmetrilinje som går genom dess toppunkt. På grund av denna symmetri skulle symmetrilinjen till exempel gå genom mittpunkten mellan de två x -intercepten (rötterna eller lösningarna) i parabeln. Det vill säga om parabeln verkligen har två reella lösningar.
Parabler kan modellera många verkliga situationer, t.ex. höjden över marken för ett föremål som kastas uppåt efter en viss tidsperiod. Parabelns spets kan ge oss information, t.ex. den maximala höjd som det föremål som kastas uppåt kan nå. Av denna anledning vill vi kunna hitta koordinaterna för hörnpunkten.
För varje parabel,Ax2+Bx+C,ges x -koordinaten för hörnet av -B/(2A) . I vårt fall är x-koordinaten 1,0000
Om vi använder parabelformeln 1,0000 för x kan vi beräkna y-koordinaten :
y = 1,0 * 1,00 * 1,00 * 1,00 – 2,0 * 1,00 – 1,0
eller y = -2,000

Parabola, grafering av toppar och X-intercept :

Lösa en kvadratisk ekvation genom att komplettera kvadraten

Lösa en kvadratisk ekvation med hjälp av den kvadratiska formeln

2.3 Lösa x2-2x-1 = 0 med den kvadratiska formeln .
Enligt den kvadratiska formeln, x , är lösningen för Ax2+Bx+C = 0 , där A, B och C är tal, ofta kallade koefficienter, given genom :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
I vårt fall är A = 1
B = -2
C = -1
Därmed blir B2 – 4AC =
4 – (-4) =
8
Användning av den kvadratiska formeln :
2 ± √ 8
x = —-
2
Kan √ 8 förenklas?
Ja! Primfaktoriseringen av 8 är
2-2-2-2
För att kunna ta bort något under radikalen måste det finnas två exemplar av det (eftersom vi tar en kvadrat, dvs. andra roten).
√ 8 = √ 2-2-2 =
± 2 – √ 2
√ 2 , avrundat till fyra decimaler, är 1.4142
Så nu tittar vi på:
x = ( 2 ± 2 – 1,414 ) / 2
Två verkliga lösningar:
x =(2+√8)/2=1+√ 2 = 2,414
eller:
x =(2-√8)/2=1-√ 2 = -0,414

Två lösningar hittades :