En vektor kan representeras av ett ordnat par (x,y), men den kan också representeras av en kolumnmatris:

$$$\begin{bmatrix} x\\\ y \end{bmatrix}$$$

Polygoner kan också representeras i matrisform, vi placerar helt enkelt alla koordinater för hörnen i en matris. Detta kallas en toppmatris.

Exempel

En kvadrat har sina toppar i följande koordinater (1,1), (-1,1), (-1,-1) och (1,-1). Om vi vill skapa vår toppmatris sätter vi in varje ordnat par i varje kolumn i en 4-kolumnsmatris:

$$\begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \\ y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 &-1 & -1 & 1\ 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$$

Vi kan använda matriser för att översätta vår figur, om vi vill översätta figuren x+3 och y+2 lägger vi helt enkelt till 3 till varje x-koordinat och 2 till varje y-koordinat.

$$\\\\\\begin{bmatrix} x_{1}+3 & x_{2}+3 &x_{3}+3 &x_{4}+3 \\\ y_{1}+2 &y_{2}+2 &y_{2}+2 & y_{2}+2 \end{bmatrix}$$$

Om vi vill utvidga en figur multiplicerar vi helt enkelt varje x- och y-koordinaten med den skalfaktor som vi vill utvidga med.

$$$3\cdot \begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \\ y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix}$$$

När vi vill skapa en reflektionsbild multiplicerar vi vår figurs toppmatris med vad som kallas en reflektionsmatris. De vanligaste reflektionsmatriserna är:

för en reflektion i x-axeln

$$$\begin{bmatrix} 1 & 0\\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$$

för en reflektion i y-axeln

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

för en reflektion i ursprunget

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

för en reflektion i linjen y=x

$$\begin{bmatrix} 0 & 1\\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$$

Exempel

Vi vill skapa en reflektion av vektorn i x-axeln.

$$$\overrightarrow{A}=\begin{bmatrix} -1 & 3\\\ 2 & -2 \end{bmatrix}$$$

För att skapa vår reflektion måste vi multiplicera den med korrekt reflektionsmatris

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$$

Därmed är vår reflektions toppmatris

$$\\\ \\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 3\\\ 2 & -2 \end{bmatrix}=\\\\ \\\\\begin{bmatrix} (1\cdot -1)+(0\cdot2) & (1\cdot3)+(0\cdot-2)\\\ (0\cdot-1)+(-1\cdot2) & (0\cdot3)+(-1\cdot-2) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & 3\\\ -2 & 2 \end{bmatrix}$$$

Om vi vill rotera en figur arbetar vi på samma sätt som när vi skapar en reflektion. Om vi vill rotera en figur 90° moturs multiplicerar vi vertexmatrisen med

$$$\begin{bmatrix} 0 & -1\\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$$

Om vi vill vrida en figur 180° moturs multiplicerar vi toppmatrisen med

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0& -1 \end{bmatrix}$$$

Om vi vill rotera en figur 270° moturs, eller rotera en figur 90° medurs, multiplicerar vi toppmatrisen med

$$\begin{bmatrix} 0& 1\\\ -1& 0 \end{bmatrix}$$$

Videolektion

Rota vektorn A 90° moturs och rita båda vektorerna i koordinatplanet

$$\underset{A}{\rightarrow}=\begin{bmatrix} -1 & 2\\\ -1 & 3 \end{bmatrix}$$$