Många elever stöter på en geometrivägg i gymnasiet och deras matematiska resa tar slut. Denna mur hindrar dem ofta från att fortsätta i matematikkurser och ha en framgångsrik övergång till högskolan.
Det finns ett antal anledningar till varför denna mur är så svår att övervinna. För det första verkar det finnas bevis för att människor tenderar att ha en naturlig benägenhet för antingen ett aritmetiskt sätt att närma sig matematiken eller ett visuellt och geometriskt sätt att närma sig den. För den förstnämnda gruppen är förmågan att resonera rumsligt inte lika lätt som för de andra. Som lärare kan vi inte kontrollera en persons naturliga förmågor. Vissa elever lär sig främmande språk snabbare än andra, vissa är mer naturligt koordinerade.
Den goda nyheten för pedagoger är att dessa brister inte innebär att dessa färdigheter inte kan utvecklas och läras in. För många elever beror deras bristande förståelse för geometri delvis på bristande möjligheter att uppleva rumsliga läroplaner.
Många läroböcker och många distriktspacingguider betonar räkneförmåga, aritmetik och algebraiskt resonemang. Geometri (tillsammans med data och statistik) är ofta inplacerad i de sista kapitlen i boken och de sista veckorna av året efter de statliga proven. Eftersom vi pedagoger har ont om tid och måste lära om och gå igenom begrepp som vi inte har förstått helt och hållet, misslyckas vi ofta med att komma till dessa kapitel. Eleverna går alltså in i geometri på gymnasiet med följande färdigheter: “Det visar sig att det grundläggande arbetet med geometriskt tänkande utfördes av ett holländskt par, van Hiele-paret. De gjorde två viktiga upptäckter om hur vi lär oss geometri. För det första finns det fem sekventiella nivåer av geometriskt tänkande. (För det andra, och detta är den verkligt goda nyheten, är det inte så mycket en fråga om kognitiv utveckling som är beroende av ålder som att gå från en nivå till nästa högre nivå, utan snarare en fråga om exponering för dessa geometriska erfarenheter.
Här är de fem nivåerna för förvärv av geometriskt tänkande. Elever som befinner sig på en nivå kan inte hoppa över till en annan, utan måste gå i tur och ordning genom nivåerna. (Van Hiele numrerade sina fem nivåer 0-4 medan amerikanska forskare har omklassificerat dem till 1-5 för att möjliggöra en nivå noll där ett barn inte har några geometriska kunskaper.)
1. Visualisering – Barn kan identifiera former utifrån utseende och inte utifrån egenskaper. Elever på den här nivån kanske inte ser en kvadrat som en typ av rektangel eller ens ser den som en kvadrat om den roteras något.
2. Analys – På den här nivån börjar eleverna associera egenskaper med sina former. Eleven som hade svårt att identifiera en roterad kvadrat kommer nu att se att den har fyra kongruenta sidor och fyra räta vinklar och därför är en kvadrat. På samma sätt skulle eleven på nivå ett ha svårt att känna igen en triangel med en spets nedåt och en bas upptill, medan eleven på nivå två ser att de tre sidorna gör det till en triangel.
3. Abstraktion – Nu kan eleverna börja tänka på egenskaperna och tillämpa dem på argument som inbegriper induktiva resonemang. Eleven som ser att fyra olika trianglar alla har en inre vinkelsumma på 180° skulle använda det mönstret för att resonera att alla trianglar måste ha samma inre vinkelsumma.
4. Deduktion – På den här nivån använder eleverna deduktiv logik för att bevisa sina gissningar från föregående nivå.
5. Rigorositet – Här går man längre än den tidigare nivån och utforskar bevis genom negation och icke-euklidisk geometri.
Som du kan se arbetar de flesta elever i grundskolan på nivå ett; de känner igen former. De gör dock inte alltid detta med flyt och noggrannhet. Jag visade en gång en kvadrat för några elever i fjärde och femte klass och bad dem namnge formen. De hade inga problem med att säga att det var en kvadrat. Men när jag roterade den så att den såg ut som en basebolldiamant sa ungefär nio av tio att det nu var en diamant. Resten försäkrade mig om att det var en romb. Endast en elev av över 100 kunde korrekt berätta för mig att det fortfarande var en kvadrat, och att jag bara hade roterat den.
Däremot undervisas gymnasiets algebra på nivåerna fyra och fem. Eftersom eleverna måste gå igenom dessa nivåer i tur och ordning är det som om vi har bett dem att klättra uppför en stege som bara innehåller de första och de två sista stegen med en stor lucka i mitten.
Detta illustrerar de svårigheter som vi står inför när vi undervisar i geometri. Att identifiera en kvadrat ingår i de flesta delstaters normer för förskolan. Men endast 1 % av de elever som jag frågade visste vad en kvadrat var fem år senare. Detta beror uppenbarligen på att när deras text eller lärare visade kvadrater hade de vanligtvis en baslinje som var parallell med sidans botten. Eleverna hade inte uppmärksammat kvadraternas egenskaper.
Men när jag ställde samma problem till åttondeklassare kunde nästan alla identifiera formen som en kvadrat även när den var roterad. Detta visar oss att deras förvärv av denna kunskap inte skedde som ett resultat av vår förskoleundervisning utan snarare berodde på erfarenheter som de mötte i senare årskurser.
Det här är återigen goda nyheter, för det säger oss att vi kan påskynda denna tillväxt genom att erbjuda eleverna dessa avgörande erfarenheter inom geometri. Men eftersom de flesta läroböcker inte ger dessa möjligheter faller det på oss att skapa dessa lektioner. Lyckligtvis finns de där ute. I en framtida blogg kommer jag att ge exempel på mellanliggande aktiviteter som hjälper eleverna att överbrygga luckorna i sina geometriska stegar.