Mathematici vermoeden al jaren dat onder bepaalde omstandigheden de Euler vergelijkingen falen. Maar ze waren niet in staat om een exact scenario te identificeren waarin dit falen optreedt. Tot nu.

De vergelijkingen zijn een geïdealiseerde wiskundige beschrijving van hoe vloeistoffen bewegen. Binnen de grenzen van bepaalde aannames, modelleren ze de manier waarop rimpels zich voortplanten in een vijver of hoe melasse uit een pot sijpelt. Ze zouden in staat moeten zijn om de beweging van elke vloeistof onder alle omstandigheden te beschrijven – en dat doen ze al meer dan twee eeuwen.

Maar een nieuw bewijs toont aan dat de vergelijkingen onder bepaalde omstandigheden falen.

“Anderhalf jaar geleden zou ik gezegd hebben dat dit iets was dat ik misschien nooit van mijn leven zou zien,” zei Tarek Elgindi, een wiskundige aan de Universiteit van Californië, San Diego en auteur van het nieuwe werk.

Elgindi bewees het bestaan van de fout in de Euler vergelijkingen in twee papers die dit jaar online zijn gezet – een in april, die hij alleen schreef, en een in oktober, die hij schreef met Tej-eddine Ghoul en Nader Masmoudi. Samen hebben de papers eeuwen van aannames over deze beroemde vloeistofvergelijkingen omvergeworpen.

“Ik denk dat het een grote, prachtige prestatie is,” zei Peter Constantin, een wiskundige aan de Princeton University.

Elgindi’s werk is niet de doodsteek voor de Euler vergelijkingen. Hij bewijst veeleer dat de vergelijkingen onder zeer bijzondere omstandigheden als het ware oververhit raken en onzin beginnen uit te kramen. Onder meer realistische omstandigheden zijn de vergelijkingen vooralsnog onkwetsbaar.

Maar de uitzondering die Elgindi heeft gevonden, is voor wiskundigen opzienbarend, omdat deze zich voordeed onder omstandigheden waarvan zij tot dan toe dachten dat de vergelijkingen altijd functioneerden.

“In het algemeen denk ik dat mensen nogal verrast zijn door Tarek’s voorbeeld,” zei Vlad Vicol, een wiskundige aan de New York University.

Euler’s Blowup

Leonhard Euler ontdekte in 1757 de vloeistofvergelijkingen die nu zijn naam dragen. Zij beschrijven de evolutie van een vloeistof in de tijd, zoals de vergelijkingen van Newton de beweging van een biljartbal op een tafel beschrijven.

Nauwkeuriger gezegd, de vergelijkingen beschrijven de ogenblikkelijke beweging van infinitesimaal kleine deeltjes in een vloeistof. Deze beschrijving omvat de snelheid van een deeltje (hoe snel het beweegt en in welke richting) en de daarmee samenhangende grootheid die bekend staat als zijn vorticiteit (hoe snel het draait, als een tol, en in welke richting).

Tezamen vormt deze informatie een “snelheidsveld”, dat een momentopname is van de beweging van een vloeistof op een bepaald moment in de tijd. De Euler-vergelijkingen gaan uit van een initieel snelheidsveld en voorspellen hoe dit op elk moment in de toekomst zal veranderen.

De Euler-vergelijkingen zijn geen letterlijke beschrijving van een vloeistof in de werkelijkheid. Zij bevatten verschillende niet-fysische veronderstellingen. Zo werken de vergelijkingen alleen als interne stromingen in een vloeistof geen wrijving veroorzaken als ze langs elkaar heen bewegen. Zij gaan er ook van uit dat vloeistoffen “onsamendrukbaar” zijn, hetgeen betekent dat je volgens de regels van de Euler vergelijkingen een vloeistof niet in een kleinere ruimte kunt persen dan die welke hij reeds inneemt.

“We kunnen het model zien als een bepaalde geïdealiseerde wereld en de vergelijkingen als de bewegingsregels in deze wereld,” schreef Vladimir Sverak van de Universiteit van Minnesota in een e-mail.

Deze onnatuurlijke bepalingen brachten de wis- en natuurkundige John von Neumann tot de kwinkslag dat de vergelijkingen “droog water” modelleren. Om de beweging van een meer realistische vloeistof met inwendige wrijving (of viscositeit) te modelleren, gebruiken onderzoekers in plaats daarvan de Navier-Stokes vergelijkingen.

“De Euler vergelijkingen zijn erg geïdealiseerd. Echte vloeistoffen hebben wrijving,” zei Constantin.

Maar de Euler-vergelijkingen nemen nog steeds een eerbiedwaardige plaats in binnen de wetenschap. Onderzoekers zouden graag willen weten of de vergelijkingen ondubbelzinnig werken binnen deze wrijvingsloze, onsamendrukbare, geïdealiseerde wereld – dat wil zeggen, of zij alle toekomstige toestanden van elk mogelijk initieel snelheidsveld kunnen beschrijven. Of, om het anders te zeggen: Zijn er vloeistofbewegingen die deze zogenaamd universele vergelijkingen niet kunnen modelleren?

“De fundamentele vraag is: Kunnen de vergelijkingen altijd hun werk doen?” zei Sverak.

In theorie zullen de vergelijkingen, zodra je waarden invoegt voor de huidige toestand van een vloeistof, exacte waarden opleveren voor een toekomstige toestand. Dan kun je die nieuwe waarden weer in de vergelijkingen invoeren en je voorspelling uitbreiden. Doorgaans werkt dit proces, schijnbaar zo ver in de toekomst als je maar wilt kijken.

Maar het is ook mogelijk dat onder zeer zeldzame omstandigheden, de vergelijkingen het begeven. Ze kunnen aan het voortschrijden zijn en uitkomsten produceren die werken als toekomstige invoer, wanneer de dingen scheef beginnen te lopen en de vergelijkingen uiteindelijk een waarde produceren waarmee ze niet verder kunnen rekenen. In deze situaties zeggen wiskundigen dat de vergelijkingen “ontploffen”.

Als de Euler vergelijkingen zouden ontploffen, dan zou dat zijn omdat ze de snelheid of vorticiteit van een punt op een zeer onnatuurlijke manier versterken. De versterking zou zo extreem zijn dat in een eindige hoeveelheid tijd, de snelheid of vorticiteit in een punt oneindig zou worden. En zodra de vergelijkingen een oneindige waarde produceren, storten ze in en kunnen ze geen toekomstige toestanden meer beschrijven. Dit komt omdat je in het algemeen niet kunt rekenen met oneindige waarden net zo min als je kunt delen door nul. (De waarden zouden onderweg de lichtsnelheid overschrijden, maar in deze geïdealiseerde wereld is dat OK.)

Deze fatale oneindige waarden worden “singulariteiten” genoemd. Als wiskundigen vragen: “Werken de vergelijkingen van Euler altijd?”, vragen ze eigenlijk: “Zijn er scenario’s waarin de vergelijkingen van Euler singulariteiten veroorzaken?”

Veel wiskundigen denken dat het antwoord ja is, maar ze hebben nog nooit een specifiek scenario kunnen vinden waarin de vergelijkingen werkelijk opgeblazen worden.

“Je hebt het gevoel dat Euler probeert te vermijden . Tot nu toe is dat gelukt,” zei Constantin.

Het nieuwe werk toont niet aan dat de vergelijkingen singulariteiten produceren onder de exacte omstandigheden waar wiskundigen het meest om geven. Maar het is het resultaat dat het dichtst bij dat doel komt. Om dit te bereiken heeft Elgindi een vereenvoudigd model van de beweging van vloeistoffen overwogen.

Vermindering van complexiteit

Mathematici hebben veel verschillende manieren om de complexiteit te verminderen van de beweging van vloeistoffen die zij met behulp van de Euler vergelijkingen willen modelleren. Veel van de interessantste resultaten, zoals die van Elgindi, laten zien hoe ver je het gedrag van een vloeistof kunt vereenvoudigen – dat wil zeggen hoe ver je de gegevens die je in de vergelijkingen invoert kunt vereenvoudigen – terwijl je er toch in slaagt iets zinnigs te zeggen over de vergelijkingen zelf.

In een echte driedimensionale vloeistof, zoals het water in een vijver, heeft elk deeltje drie assen waarlangs het kan bewegen: de x-as (links of rechts), de y-as (omhoog of omlaag), en de z-as (naar achteren of naar voren). Dat is een heleboel bewegingsvrijheid. Bovendien is er niet noodzakelijk een sterk verband tussen de beweging van deeltjes in verschillende delen van de vloeistof.

“Het is te veel om bij te houden,” zei Elgindi.

In zijn nieuwe werk vereenvoudigt Elgindi de taak die hij de Euler vergelijkingen laat uitvoeren. Hij eist dat de vloeistof symmetrie vertoont rond de z-as, iets wat je over het algemeen niet vindt in een echte vloeistof. Deze symmetrie maakt het gemakkelijker om het snelheidsveld te berekenen, omdat je weet dat punten aan weerszijden van de z-as spiegelbeelden van elkaar zijn. Dus als je de snelheid of vorticiteit op één punt weet, hoef je alleen maar het teken van de waarden om te draaien en je weet de waarden op een tweede punt.

Hij beperkt ook het bewegingsbereik van de punten in de vloeistof. Deeltjes mogen in twee richtingen bewegen, langs de z-as of naar de z-as toe of er vanaf. Ze mogen niet rond de z-as draaien. Wiskundigen zeggen dat zo’n vloeistof “geen werveling” heeft.

“Het reduceert het probleem in feite tot een tweedimensionaal probleem,” zei Elgindi.

Ten slotte stelt Elgindi bepaalde aanvullende voorwaarden aan de initiële gegevens die hij in de Euler vergelijkingen invoert. De gegevens zijn in zekere zin ruwer dan de waarden die vloeistoffen in de echte wereld beschrijven, en dat maakt de vorming van singulariteiten waarschijnlijker.

In de echte wereld is het zo dat als je een zeer kleine afstand van het ene punt in een vloeistof naar het andere beweegt, de snelheid in het tweede punt sterk lijkt op de snelheid in het eerste punt. Op dezelfde manier moeten de snelheden in de twee punten zeer gelijkaardig zijn. Wiskundigen zeggen dat snelheidsvelden met deze eigenschap “vloeiend” zijn, wat betekent dat de waarden voortdurend – vloeiend – variëren naarmate je van het ene punt naar het andere beweegt. Er zijn geen snelle veranderingen.

Dat is niet het geval in Elgindi’s beschrijvingen van een vloeistof.

“De vorticiteit in Tarek’s gegevens kan dramatischer variëren,” zei Vicol. “Dichtbij gelegen punten hebben sterk verschillende vorticiteiten.”

Elgindi’s vereenvoudigingen lijken misschien te ver af te wijken van het echte gedrag van een vloeistof om nuttig te zijn. Maar ze zijn veel milder dan veel vereenvoudigde scenario’s waaronder wiskundigen eerder inzicht hebben gekregen in de Euler vergelijkingen.

In feite heeft Elgindi laten zien dat onder deze vereenvoudigde – maar niet te vereenvoudigde – omstandigheden, de Euler vergelijkingen zeer onverwachte resultaten beginnen op te leveren.

Game Over

Om Elgindi’s ontdekking te begrijpen, moeten we ons een tank met water voorstellen. Dit is enigszins misleidend, want Elgindi’s werk gaat over vloeistoffen die geen begrenzing hebben, wat betekent dat ze als een klodder in de ruimte zweven. Maar om het scenario te visualiseren dat de kern vormt van zijn werk, is het nuttig om het water in een tank te plaatsen. De belangrijkste wiskundige vermoedens – en de moeilijkst te bewijzen – betreffen vloeistoffen zonder grenzen.

Stelt u zich nu twee dikke ringen van water voor aan de uiteinden van de tank. De ringen vormen een soort draaikolken – georganiseerde verstoringen binnen de hoofdmassa van de vloeistof. Het is een soort fenomeen dat echt in de natuur voorkomt, en ze zien eruit als de ringen die ervaren rokers kunnen produceren.

Stelt u zich nu voor dat de tegenover elkaar liggende ringen naar elkaar toe bewegen.

Terwijl ze voortbewegen, werken de Euler vergelijkingen normaal op de achtergrond, en berekenen de snelheidsvelden die de vloeistof op elk moment in de tijd beschrijven. Maar wanneer de ringen dicht bij elkaar komen, beginnen de vergelijkingen een aantal wilde waarden te rapporteren.

Zij laten zien dat de ringen elkaar aantrekken met een steeds grotere intensiteit – en in het bijzonder laten zij zien dat de binnenste delen van de ringen elkaar aantrekken en trekken met een nog grotere kracht dan de buitenste delen van de ringen. Als gevolg daarvan worden de ringen langgerekt en gaan ze meer op een paar trechters lijken. Terwijl hun middelpunten steeds dichter bij elkaar komen, wordt hun snelheid steeds hoger. Dan botsen ze.

En als je op dat exacte moment kijkt naar het snelheidsveld dat de botsing beschrijft, zie je iets wat nog nooit iemand heeft gezien onder deze aannames in de geschiedenis van de Euler vergelijkingen: een singulariteit. Elgindi bewees dat de Euler vergelijkingen oneindige vorticiteit berekenen op het punt van botsing. Game over.

“De klassieke vorm van de vergelijkingen breekt af,” zei Elgindi. “Daarna weet je niet wat er gebeurt.”

Het resultaat heeft wel enkele beperkingen. Zo is het onmogelijk om vanuit zijn bewijs te extrapoleren naar het gedrag van de Euler vergelijkingen onder de volledig “gladde” condities. Dit komt omdat wiskundigen decennia geleden al bewezen hebben dat het scenario dat Elgindi beschouwt onder gladde condities geen singulariteit oplevert.

Maar op andere manieren verandert zijn resultaat de manier waarop wiskundigen naar deze oude vergelijkingen kijken volledig.

Vóór Elgindi’s werk hadden wiskundigen nog nooit het bestaan bewezen van een situatie, zonder grens, waarin de Euler vergelijkingen wel werkten gedurende een korte periode (wanneer de ringen elkaar naderen) maar niet voor altijd. In al het voorgaande werk hadden wiskundigen gevonden dat als de vergelijkingen al werkten, ze voor altijd werkten.

“Het is nogal een opmerkelijk resultaat omdat het bewijst dat er singulariteiten zijn onder een scenario dat we ‘goed gesteld’ noemen. Het is logisch, en toch krijg je deze eindige-tijd singulariteit,” zei Constantin.

Vele generaties wetenschappers hebben gezocht naar een zwakke plek in de Euler vergelijkingen. Eindelijk – met voorbehoud – heeft een wiskundige er een gevonden.