Wat is zuivere wiskunde? Wat doen zuivere wiskundigen? Waarom is zuivere wiskunde belangrijk?

Dit zijn vragen waarmee ik vaak word geconfronteerd als mensen ontdekken dat ik zuivere wiskunde doe.

Ik slaag er altijd in een antwoord te geven, maar het lijkt nooit helemaal te bevredigen.

Daarom zal ik proberen een meer geformuleerd en volwassen antwoord te geven op deze drie vragen. Ik verontschuldig mij bij voorbaat voor de oversimplificaties die ik heb moeten maken om beknopt te kunnen zijn.

In het algemeen zijn er twee verschillende soorten wiskunde (en ik hoor al protesten) – zuivere en toegepaste. Filosofen als Bertrand Russell hebben getracht rigoureuze definities van deze indeling te geven.

Ik vang het onderscheid in de volgende, enigszins cryptische, uitspraak: zuivere wiskundigen bewijzen stellingen en toegepaste wiskundigen construeren theorieën.

Wat dit betekent is dat het paradigma waarin de wiskunde door de twee groepen mensen wordt gedaan, verschillend is.

Pure wiskundigen worden vaak gedreven door abstracte problemen. Om het abstracte concreet te maken, volgen hier een paar voorbeelden: “zijn er oneindig veel dubbele priemgetallen” of “heeft elke ware wiskundige uitspraak een bewijs?”

Om precies te zijn: wiskunde is opgebouwd uit axioma’s, en de aard van wiskundige waarheid wordt beheerst door predikatenlogica.

Een wiskundige stelling is een ware bewering die vergezeld gaat van een bewijs dat haar waarheid onomstotelijk aantoont door deductie met behulp van de logica.

In tegenstelling tot een empirische theorie is het niet voldoende om eenvoudigweg een verklaring te construeren die kan veranderen naarmate zich uitzonderingen voordoen.

Wat een wiskundige op grond van bewijzen vermoedt, maar niet bewijst, is gewoon een gissing.

Toepassing

Toepassende wiskundigen worden meestal gemotiveerd door problemen die uit de fysische wereld voortkomen. Zij gebruiken wiskunde om deze problemen te modelleren en op te lossen.

Deze modellen zijn in feite theorieën en, zoals bij elke wetenschap, zijn zij onderworpen aan toetsbaarheid en falsifieerbaarheid. Naarmate de hoeveelheid informatie over het probleem toeneemt, zullen deze modellen mogelijk veranderen.

Puur en toegepast sluiten elkaar niet noodzakelijkerwijs uit. Er zijn veel grote wiskundigen die beide terreinen betreden.

Puur

Er zijn veel problemen die door zuivere wiskundigen worden nagestreefd die hun wortels hebben in concrete fysische problemen – met name problemen die voortvloeien uit de relativiteit of de kwantummechanica.

Typisch is dat bij een dieper begrip van dergelijke verschijnselen verschillende “technische bijzonderheden” ontstaan (geloof me als ik u zeg dat deze technische bijzonderheden zeer moeilijk uit te leggen zijn). Deze worden geabstraheerd tot zuiver wiskundige uitspraken, die door zuivere wiskundigen kunnen worden aangevallen.

Het oplossen van deze wiskundige problemen kan vervolgens belangrijke toepassingen hebben.

Ok computer

Laat ik een concreet voorbeeld geven van hoe abstract denken leidde tot de ontwikkeling van een apparaat dat de basis vormt van de functies van de moderne samenleving: de computer.

De vroegste computers hadden een vast programma – d.w.z. ze waren speciaal gebouwd om slechts één taak uit te voeren. Het veranderen van het programma was een zeer kostbare en vervelende aangelegenheid.

De moderne overblijfselen van zo’n dinosaurus zouden een zakrekenmachine zijn, die is gebouwd om alleen elementaire rekenkundige bewerkingen uit te voeren. Met een moderne computer daarentegen kan men een rekenprogramma laden, of een tekstverwerkingsprogramma, en men behoeft daarvoor niet van machine te veranderen.

Deze paradigmawisseling vond plaats in het midden van de jaren veertig en wordt het opgeslagen programma of de von Neumann-architectuur genoemd.

Het alom toegankelijke, maar minder bekende verhaal is dat dit concept zijn wortels heeft in het onderzoek van een abstract wiskundig probleem dat het Entscheidungsproblem (beslissingsprobleem) wordt genoemd.

Het Entscheidungsprobleem werd in 1928 geformuleerd door de beroemde wiskundige David Hilbert.

Het laat zich ongeveer als volgt vertalen: “Bestaat er een procedure die de waarheid of onwaarheid van een wiskundige uitspraak in een eindig aantal stappen kan bepalen?”

Dit werd door Alonzo Church en Alan Turing onafhankelijk van elkaar in 1936 en 1937 ontkennend beantwoord. In zijn paper formuleert Turing een abstracte machine, die wij nu de Turing machine noemen.

De machine bezit een oneindig lange tape (geheugen), een kop die een stap tegelijk kan zetten, lezen van en schrijven naar de tape, een eindige instructietabel die instructies geeft aan de kop, en een eindige verzameling toestanden (zoals “accept”, of “deny”). Men start de machine met invoer op de tape.

Zulk een machine kan niet buiten het gebied van de wiskunde bestaan, daar zij een oneindig lange band heeft.

Maar zij is wel het instrument dat gebruikt wordt om het begrip berekenbaarheid te definiëren. Dat wil zeggen, wij zeggen dat een probleem berekenbaar is als wij het kunnen coderen met een Turing machine.

Dan kan men de parallellen zien van een Turing machine met een vast-programma machine.

Nu, stel dat er een Turing machine U is die de instructietabel en toestanden van een willekeurige Turing machine T kan nemen (op de juiste wijze gecodeerd), en op dezelfde band invoer I aan T kan geven, en de Turing machine T op de invoer I kan uitvoeren.

Zulk een machine heet een Universele Turing Machine.

In zijn paper uit 1937 bewijst Turing een belangrijke existentiestelling: er bestaat een universele Turing machine. Dit is nu de parallel van het store-program concept, de basis van de moderne programmeerbare computer.

Het is opmerkelijk dat een abstract probleem over de grondslagen van de wiskunde de basis legde voor de komst van de moderne computer.

Het is misschien een kenmerk van de zuivere wiskunde dat de wiskundige niet beperkt wordt door de beperkingen van de fysieke wereld en een beroep kan doen op de verbeelding om abstracte objecten te creëren en te construeren.

Dat wil niet zeggen dat de zuivere wiskundige geen natuurkundige begrippen formaliseert, zoals energie, entropie enzovoort, om abstracte wiskunde te bedrijven.

In ieder geval moet dit voorbeeld illustreren dat het nastreven van zuiver wiskundige problemen een zaak is die de moeite waard is en van enorme waarde kan zijn voor de samenleving.