Wetenschappers beschouwen het tegenwoordig als vanzelfsprekend dat elke meting fouten bevat, zodat herhalingen van ogenschijnlijk hetzelfde experiment verschillende resultaten opleveren. In het intellectuele klimaat van Galilei’s tijd, toen logische syllogismen die geen grijs gebied tussen goed en fout toelieten, de geaccepteerde manier waren om conclusies te trekken, waren zijn nieuwe procedures echter verre van overtuigend. Bij het beoordelen van zijn werk moet men bedenken dat de conventies die nu gangbaar zijn bij het rapporteren van wetenschappelijke resultaten pas lang na Galileo’s tijd werden aangenomen. Als hij dus, zoals gezegd, beweert dat twee voorwerpen die van de scheve toren van Pisa vallen, samen op de grond komen met niet meer dan een handbreedte tussen hen in, hoeft daaruit niet te worden afgeleid dat hij het experiment zelf heeft uitgevoerd of dat, als hij dat heeft gedaan, het resultaat zo volmaakt was. Een dergelijk experiment was inderdaad iets eerder (1586) uitgevoerd door de Vlaamse wiskundige Simon Stevin, maar Galileo idealiseerde het resultaat. Een lichte bal en een zware bal bereiken niet samen de grond, en het verschil tussen beide is ook niet altijd hetzelfde, want het is onmogelijk het ideaal na te bootsen dat men ze precies op hetzelfde moment laat vallen. Niettemin was Galilei tevreden dat het dichter bij de waarheid kwam te zeggen dat zij samen vielen dan dat er een significant verschil was tussen hun snelheid. Deze idealisering van onvolmaakte experimenten blijft een essentieel wetenschappelijk proces, hoewel het tegenwoordig gepast wordt geacht de primaire waarnemingen te presenteren (of tenminste voor onderzoek beschikbaar te hebben), zodat anderen onafhankelijk kunnen oordelen of zij bereid zijn de conclusie van de auteur te aanvaarden over wat zou zijn waargenomen bij een ideaal uitgevoerd experiment.

De principes kunnen worden geïllustreerd door, met het voordeel van moderne instrumenten, een experiment te herhalen zoals Galilei zelf heeft uitgevoerd, namelijk het meten van de tijd die een bal nodig heeft om over verschillende afstanden door een licht hellend kanaal te rollen. Het volgende verslag is een reëel experiment dat bedoeld is om aan de hand van een zeer eenvoudig voorbeeld te laten zien hoe het proces van idealisering verloopt, en hoe de voorlopige conclusies vervolgens kunnen worden onderworpen aan een meer diepgaande test.

Op een koperen goot werden lijnen met een gelijke afstand van 6 cm gekerfd, en de bal werd met behulp van een kaart in rust gehouden naast de hoogste lijn. Een elektronische timer werd gestart op het moment dat de kaart werd verwijderd, en de timer werd gestopt als de bal een van de andere lijnen passeerde. Zeven herhalingen van elke tijdmeting toonden aan dat de metingen zich gewoonlijk over een bereik van 1/20 van een seconde uitspreidden, vermoedelijk als gevolg van menselijke beperkingen. In een dergelijk geval, waarin een meting onderhevig is aan toevallige fouten, geeft het gemiddelde van vele herhalingen een betere schatting van wat het resultaat zou zijn als de bron van toevallige fouten werd geëlimineerd; de factor waarmee de schatting wordt verbeterd is ruwweg de vierkantswortel van het aantal metingen. Bovendien maakt de foutenleer van de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss het mogelijk een kwantitatieve schatting te maken van de betrouwbaarheid van het resultaat, in de tabel uitgedrukt door het conventionele symbool ±. Dit betekent niet dat het eerste resultaat in kolom 2 gegarandeerd tussen 0,671 en 0,685 ligt, maar dat, als deze bepaling van het gemiddelde van zeven metingen vele malen zou worden herhaald, ongeveer tweederde van de bepalingen binnen deze grenzen zou liggen.

De weergave van metingen door een grafiek, zoals in figuur 1, was niet beschikbaar voor Galilei, maar werd kort na zijn tijd ontwikkeld als gevolg van het werk van de Franse wiskundige-filosoof René Descartes. De punten lijken dicht bij een parabool te liggen, en de kromme die wordt getekend is gedefinieerd door de vergelijking x = 12t2. De fit is niet helemaal perfect, en het is de moeite waard om te proberen een betere formule te vinden. Aangezien de handelingen van het starten van de timer wanneer de kaart wordt verwijderd om de bal te laten rollen en het stoppen van de timer wanneer de bal een merkteken passeert verschillend zijn, bestaat de mogelijkheid dat, naast toevallige tijdfouten, een systematische fout optreedt in elke gemeten waarde van t; dat wil zeggen dat elke meting t misschien moet worden geïnterpreteerd als t + t0, waarbij t0 een nog onbekende constante tijdfout is. Als dit zo is, zou men kunnen nagaan of de gemeten tijden niet met x = at2, waarin a een constante is, maar met x = a(t + t0)2 aan de afstand zijn gerelateerd. Dit kan ook grafisch worden getest door de vergelijking eerst te herschrijven als Vierkantswortel van√x = Vierkantswortel van√a(t + t0), hetgeen inhoudt dat wanneer de waarden van de vierkantswortel van√x worden uitgezet tegen gemeten waarden van t zij op een rechte lijn moeten liggen. Figuur 2 verifieert deze voorspelling vrij nauwkeurig; de lijn gaat niet door de oorsprong maar snijdt de horizontale as bij -0,09 seconde. Hieruit kan men afleiden dat t0 = 0,09 seconde en dat (t + 0,09)x gelijk moet zijn voor alle paren metingen die in de bijgaande staan. Uit de derde kolom blijkt dat dit zeker het geval is. De constantheid is zelfs beter dan men op grond van de geschatte fouten had kunnen verwachten. Dit moet worden beschouwd als een statistisch toeval; het houdt geen grotere zekerheid in over de juistheid van de formule dan wanneer de cijfers in de laatste kolom tussen 0,311 en 0,315 hadden gelegen, wat zeer goed mogelijk zou zijn geweest. Men zou verbaasd zijn als een herhaling van het hele experiment weer zo’n vrijwel constant resultaat zou opleveren.

Een mogelijke conclusie is dus dat om een of andere reden – waarschijnlijk een vertekening van de waarneming – de gemeten tijden de werkelijke tijd t die een bal nodig heeft om vanuit rust een afstand x af te leggen, met 0,09 seconde onderschatten. Verdere experimenten, waarbij het kanaal op verschillende maar nog steeds flauwe hellingen wordt ingesteld, suggereren dat de algemene regel de vorm x = at2 aanneemt, waarbij a evenredig is met de helling. Deze voorlopige idealisering van de experimentele metingen moet wellicht worden gewijzigd, of zelfs worden verworpen, in het licht van verdere experimenten. Nu zij echter in wiskundige vorm is gegoten, kan zij wiskundig worden geanalyseerd om te onthullen welke gevolgen zij impliceert. Uit een grafiek als figuur 1, die laat zien hoe x afhangt van t, kan men de momentane snelheid van de bal op elk moment afleiden. Dit is de helling van de raaklijn aan de kromme bij de gekozen waarde van t; bij t = 0,6 seconde, bijvoorbeeld, beschrijft de getekende raaklijn hoe x zich verhoudt tot t voor een bal die zich voortbeweegt met een constante snelheid van ongeveer 14 cm per seconde. De lagere helling vóór dit moment en de hogere helling erna geven aan dat de kogel gestaag versnelt. Men zou raaklijnen kunnen trekken bij verschillende waarden van t en tot de conclusie komen dat de momentane snelheid ruwweg evenredig is met de tijd die verstreken is sinds de bal begon te rollen. Deze procedure, met haar onvermijdelijke onnauwkeurigheden, wordt overbodig door elementaire wiskunde toe te passen op de veronderstelde formule. De momentane snelheid v is de afgeleide van x ten opzichte van t; als

De implicatie dat de snelheid strikt evenredig is met de verstreken tijd is dat een grafiek van v tegen t een rechte lijn door de oorsprong zou zijn. Op elke grafiek van deze grootheden, recht of niet, toont de helling van de raaklijn op elk punt hoe de snelheid op dat moment verandert met de tijd; dit is de momentane versnelling f. Voor een rechtlijnige grafiek van v ten opzichte van t zijn de helling en dus de versnelling op elk moment hetzelfde. Wiskundig uitgedrukt is f = dv/dt = d2x/dt2; in dit geval heeft f de constante waarde 2a.

De voorlopige conclusie is dus dat een bal die een rechte helling afrolt een constante versnelling ondervindt en dat de grootte van de versnelling evenredig is met de helling. Nu kan de juistheid van de conclusie worden getoetst door na te gaan wat zij voorspelt voor een andere experimentele opstelling. Indien mogelijk wordt een experiment opgezet dat nauwkeurigere metingen mogelijk maakt dan die welke tot de voorlopige gevolgtrekking hebben geleid. Een dergelijke test kan worden uitgevoerd met een bal die in een gebogen kanaal rolt, zodat het middelpunt een cirkelboog met straal r aflegt, zoals in figuur 3. Als de boog ondiep is, ligt de helling op een afstand x van het laagste punt zeer dicht bij x/r, zodat de versnelling van de kogel naar het laagste punt evenredig is met x/r. Met c als evenredigheidsconstante wordt dit geschreven als een differentiaalvergelijking

Hier wordt gesteld dat, op een grafiek die laat zien hoe x varieert met t, de kromming d2x/dt2 evenredig is met x en het tegengestelde teken heeft, zoals geïllustreerd in figuur 4. Als de grafiek de as snijdt, zijn x en dus de kromming nul, en is de lijn plaatselijk recht. Deze grafiek stelt de oscillaties voor van de kogel tussen uitersten van ±A nadat hij is losgelaten van x = A op t = 0. De oplossing van de differentiaalvergelijking waarvan de grafiek de grafische voorstelling is, is

waarbij ω, de hoekfrequentie genoemd, wordt geschreven voor vierkantswortel van√(c/r). De bal heeft tijd T = 2π/ω = 2πwortel uit√(r/c) nodig om terug te keren naar zijn oorspronkelijke rustpositie, waarna de oscillatie zich oneindig herhaalt of totdat wrijving de bal tot rust brengt.

Volgens deze analyse is de periode, T, onafhankelijk van de amplitude van de oscillatie, en deze nogal onverwachte voorspelling kan streng worden getest. In plaats van de bal over een gekromd kanaal te laten rollen, kan hetzelfde pad gemakkelijker en nauwkeuriger worden gerealiseerd door de bal tot de pendel van een eenvoudige slinger te maken. Om te testen of de periode onafhankelijk is van de amplitude kunnen twee slingers zo goed mogelijk identiek worden gemaakt, zodat zij in de pas blijven wanneer zij met dezelfde amplitude slingeren. Vervolgens worden ze met verschillende amplitudes heen en weer geslingerd. Het vereist grote zorgvuldigheid om enig verschil in periode te ontdekken, tenzij één amplitude groot is, wanneer de periode iets langer is. Een waarneming die bijna overeenkomt met de voorspelling, maar niet helemaal, toont niet noodzakelijk aan dat de oorspronkelijke veronderstelling onjuist is. In dit geval was de differentiaalvergelijking die een exacte constantheid van de periode voorspelde zelf een benadering. Wanneer deze wordt geherformuleerd met de ware uitdrukking voor de helling in plaats van x/r, toont de oplossing (die nogal zware wiskunde vereist) een variatie van de periode met de amplitude die nauwkeurig is geverifieerd. In plaats van in diskrediet te zijn gebracht, heeft de voorzichtige veronderstelling meer steun gekregen.

Galileo’s wet van versnelling, de fysische basis van de uitdrukking 2πkwadraat van√(r/c) voor de periode, wordt verder versterkt door de bevinding dat T rechtstreeks varieert als de vierkantswortel van r – d.w.z, de lengte van de slinger.

Daarnaast kan met dergelijke metingen de waarde van de constante c met een hoge mate van precisie worden bepaald, en blijkt deze samen te vallen met de versnelling g van een vrij vallend lichaam. In feite vormt de formule voor de periode van kleine oscillaties van een eenvoudige slinger met lengte r, T = 2πkwadraatwortel van√(r/g), de kern van enkele van de meest nauwkeurige methoden om g te meten. Dit zou niet zijn gebeurd als de wetenschappelijke gemeenschap Galilei’s beschrijving van het ideale gedrag niet had aanvaard en niet verwachtte in haar geloof te worden geschokt door kleine afwijkingen, zolang deze konden worden begrepen als een afspiegeling van onvermijdelijke toevallige discrepanties tussen het ideaal en de experimentele verwezenlijking ervan. De ontwikkeling van de kwantummechanica in het eerste kwart van de 20e eeuw werd gestimuleerd door de aarzelende aanvaarding dat deze beschrijving systematisch faalde wanneer zij werd toegepast op objecten van atomaire omvang. In dit geval ging het er niet om, zoals bij de periodieke variaties, de natuurkundige ideeën nauwkeuriger in de wiskunde te vertalen; de hele natuurkundige basis moest radicaal worden herzien. Toch werden de vroegere ideeën niet overboord gegooid – zij bleken in veel te veel toepassingen goed te werken om te kunnen worden verworpen. Wat naar voren kwam was een duidelijker begrip van de omstandigheden waarin hun absolute geldigheid veilig kon worden aangenomen.