Veel leerlingen lopen op de middelbare school tegen de muur van de meetkunde aan en hun wiskundige reis eindigt. Deze muur weerhoudt hen er vaak van wiskundecursussen te blijven volgen en een succesvolle overstap naar de universiteit te maken.
Er zijn een aantal redenen waarom deze muur zo moeilijk te overwinnen is. Ten eerste zijn er aanwijzingen dat mensen van nature geneigd zijn om wiskunde ofwel op een rekenkundige manier te benaderen, ofwel op een visuele en meetkundige manier. Voor de eerste groep is het vermogen om ruimtelijk te redeneren niet zo gemakkelijk als voor de andere. Als leraren kunnen wij de natuurlijke vermogens van een persoon niet controleren. Sommige leerlingen leren sneller vreemde talen dan anderen; sommigen zijn meer van nature gecoördineerd.
Het goede nieuws voor opvoeders is dat deze tekortkomingen niet betekenen dat deze vaardigheden niet kunnen worden ontwikkeld en aangeleerd. Bij veel leerlingen is hun gebrek aan inzicht in meetkunde deels te wijten aan een gebrek aan mogelijkheden om ervaring op te doen met ruimtelijke leerplannen.
Veel schoolboeken en veel districtshandleidingen leggen de nadruk op rekenvaardigheid, rekenen en algebraïsch redeneren. Meetkunde (samen met gegevens en statistieken) wordt vaak weggestopt in de laatste hoofdstukken van het boek en de laatste weken van het jaar na de staatstests. Omdat wij leerkrachten in tijdnood zitten en concepten die we niet helemaal begrepen hebben opnieuw moeten leren en herzien, komen we vaak niet aan die hoofdstukken toe. Zo komen leerlingen de middelbare school binnen met de volgende vaardigheden: “Ik ken de namen van vormen, en ik moest de oppervlakteformules uit mijn hoofd leren, maar ik weet ze niet meer.”
Het blijkt dat het baanbrekende werk op het gebied van meetkundig denken is gedaan door een Nederlands echtpaar, de van Hiele’s. Zij deden twee belangrijke ontdekkingen over hoe wij meetkunde leren. Ten eerste, er zijn vijf opeenvolgende niveaus van geometrisch denken. (Ten tweede, en dit is het echte goede nieuws, is het overgaan van het ene niveau naar het volgende hogere niet zozeer een kwestie van cognitieve ontwikkeling afhankelijk van leeftijd, maar veeleer scharnierend op blootstelling aan deze meetkundige ervaringen.
Dit zijn de vijf niveaus van verwerving van meetkundig denken. Leerlingen op een bepaald niveau kunnen niet overspringen naar een ander, maar moeten opeenvolgend door de lagen gaan. (De van Hiele’s nummerden hun vijf niveaus 0-4 terwijl Amerikaanse onderzoekers ze hebben geherclassificeerd als 1-5 om een niveau nul mogelijk te maken waarin een kind geen meetkundige kennis heeft.)
1. Visualisatie – Kinderen kunnen vormen identificeren op basis van hun uiterlijk, niet op basis van hun eigenschappen. Leerlingen op dit niveau zien een vierkant niet als een soort rechthoek en zelfs niet als een vierkant als het een beetje gedraaid is.
2. Analyse – Op dit niveau beginnen leerlingen eigenschappen te associëren met hun vormen. De leerling die moeite had om een gedraaid vierkant te herkennen, zal nu zien dat het vier congruente zijden en vier rechte hoeken heeft en dus een vierkant is. Op dezelfde manier zou de niveau één leerling moeite hebben om een driehoek te herkennen met een hoekpunt naar beneden en een basis aan de bovenkant, terwijl een niveau twee leerling ziet dat de drie zijden het een driehoek maken.
3. Abstractie – Nu kunnen leerlingen beginnen na te denken over de eigenschappen en ze toepassen op argumenten waarbij inductief geredeneerd wordt. De leerling die ziet dat vier verschillende driehoeken allemaal een binnenhoeksom van 180° hebben, zou dat patroon gebruiken om te redeneren dat alle driehoeken dezelfde binnenhoeksom moeten hebben.
4. Deductie – Op dit niveau gebruiken de leerlingen deductieve logica om hun vermoedens van het vorige niveau te bewijzen.
5. Rigor – Dit gaat verder dan het vorige niveau om bewijzen door ontkenning en niet-Euclidische meetkunde te onderzoeken.
Zoals u kunt zien, werken de meeste leerlingen in de lagere klassen op niveau één; zij herkennen vormen. Maar ze doen dit niet altijd even vloeiend en accuraat. Ik liet eens een vierkant zien aan een aantal leerlingen uit de 4e en 5e klas en vroeg hen de vorm te benoemen. Ze hadden geen moeite me te vertellen dat het een vierkant was. Toen ik het echter draaide om het op een honkbalruit te laten lijken, zeiden ongeveer negen van de tien dat het nu een ruit was. De rest verzekerde me dat het een ruit was. Slechts één van de meer dan 100 leerlingen kon me correct vertellen dat het nog steeds een vierkant was, en dat ik het alleen maar gedraaid had.
In tegenstelling daarmee wordt algebra op de middelbare school onderwezen op niveau vier en vijf. Omdat de leerlingen deze niveaus achtereenvolgens moeten doorlopen, is het alsof we hen vragen een ladder te beklimmen die alleen de eerste en de laatste twee sporten bevat, met een grote kloof in het midden.
Dit illustreert de moeilijkheden waarmee we worden geconfronteerd bij het onderwijzen van meetkunde. Het herkennen van een vierkant staat in de meeste staten op de kleuterschool standaard. Maar slechts 1% van de leerlingen die ik vroeg, wist vijf jaar later wat een kwadraat was. Dit is duidelijk omdat wanneer hun tekst of leraren vierkanten toonden, deze meestal een basislijn hadden die evenwijdig was aan de onderkant van de pagina. Leerlingen hadden niet gelet op de eigenschappen van de vierkanten.
Toen ik echter hetzelfde probleem voorlegde aan leerlingen uit groep 8, waren ze bijna allemaal in staat om de vorm als een vierkant te identificeren, zelfs wanneer deze gedraaid was. Dit laat ons zien dat hun verwerving van deze kennis niet het gevolg was van onze kleuterlessen, maar eerder van ervaringen die zij opdeden in latere klassen.
Ook dit is goed nieuws, want het vertelt ons dat wij deze groei kunnen versnellen door leerlingen deze cruciale ervaringen in de meetkunde aan te bieden. Maar aangezien de meeste leerboeken deze mogelijkheden niet bieden, is het aan ons om deze lessen te creëren. Gelukkig zijn die er wel. In een volgende blog zal ik voorbeelden geven van tussentijdse activiteiten waarmee leerlingen de gaten in hun meetkundeladder kunnen dichten.