wielu uczniów trafia na ścianę geometrii w szkole średniej i ich matematyczna podróż się kończy. Ta ściana często uniemożliwia im kontynuowanie kursów matematyki i pomyślne przejście do college’u.
Istnieje wiele powodów, dla których ta ściana jest tak trudna do pokonania. Po pierwsze, istnieją dowody na to, że ludzie mają naturalną skłonność albo do arytmetycznego podejścia do matematyki, albo do wizualnego i geometrycznego. Dla tej pierwszej grupy umiejętność rozumowania przestrzennego nie jest tak łatwa, jak dla pozostałych. Jako nauczyciele nie jesteśmy w stanie kontrolować naturalnych zdolności człowieka. Niektórzy uczniowie uczą się języków obcych szybciej niż inni; niektórzy są bardziej naturalnie skoordynowani.
Dobrą wiadomością dla nauczycieli jest to, że te deficyty nie oznaczają, że tych umiejętności nie da się rozwinąć i nauczyć. Dla wielu uczniów, ich brak zrozumienia geometrii wynika częściowo z braku możliwości doświadczenia programów nauczania przestrzennego.
Wiele podręczników i wiele lokalnych przewodników kładzie nacisk na umiejętności liczenia, arytmetyki i rozumowania algebraicznego. Geometria (wraz z danymi i statystyką) jest często schowana w ostatnich rozdziałach książki i w ostatnich tygodniach roku po testach państwowych. Ponieważ my, nauczyciele, jesteśmy pod presją czasu i musimy ponownie uczyć i sprawdzać pojęcia, które nie zostały w pełni zrozumiane, często nie udaje nam się dotrzeć do tych rozdziałów. W ten sposób uczniowie rozpoczynają geometrię w szkole średniej z następującym zestawem umiejętności: “Znam nazwy kształtów i musiałem zapamiętać wzory na pole powierzchni, ale ich nie pamiętam.”
Okazuje się, że przełomowa praca nad myśleniem geometrycznym została wykonana przez holenderską parę, van Hiele’ów. Dokonali oni dwóch znaczących odkryć na temat tego, jak uczymy się geometrii. Po pierwsze, istnieje pięć sekwencyjnych poziomów myślenia geometrycznego. (Po drugie, i to jest prawdziwa dobra wiadomość, przejście z jednego poziomu do następnego, wyższego, nie jest tak bardzo kwestią rozwoju poznawczego zależnego od wieku, ale raczej zależy od ekspozycji na te geometryczne doświadczenia.
Oto pięć poziomów nabywania myślenia geometrycznego. Uczniowie na jednym poziomie nie mogą przeskoczyć na inny, ale muszą kolejno przechodzić przez kolejne warstwy. (van Hiele’owie ponumerowali swoje pięć poziomów 0-4, podczas gdy amerykańscy badacze przeklasyfikowali je jako 1-5, aby dopuścić poziom zerowy, na którym dziecko nie posiada żadnej wiedzy geometrycznej.)
1. Wizualizacja – Dzieci potrafią identyfikować kształty na podstawie wyglądu, a nie na podstawie właściwości. Uczniowie na tym poziomie mogą nie widzieć kwadratu jako rodzaju prostokąta, ani nawet nie widzieć go jako kwadratu, jeśli jest lekko obrócony.
2. Analiza – Na tym poziomie, uczniowie zaczynają kojarzyć właściwości z ich kształtami. Uczeń, który miał trudności z rozpoznaniem obróconego kwadratu, teraz zobaczy, że ma on cztery przystające boki i cztery kąty proste, a więc jest kwadratem. Podobnie uczeń na poziomie pierwszym miałby trudności z rozpoznaniem trójkąta z wierzchołkiem skierowanym w dół i podstawą na górze, podczas gdy uczeń na poziomie drugim widzi, że trzy boki czynią go trójkątem.
3. Abstrakcja – Teraz uczniowie mogą zacząć myśleć o właściwościach i stosować je do argumentów, które wymagają rozumowania indukcyjnego. Uczeń, który widzi, że cztery różne trójkąty mają sumę kątów wewnętrznych 180°, używa tego wzoru do rozumowania, że wszystkie trójkąty muszą mieć taką samą sumę kątów wewnętrznych.
4. Dedukcja – Na tym poziomie uczniowie używają logiki dedukcyjnej, aby udowodnić swoje przypuszczenia z poprzedniego poziomu.
5. Rygor – wykracza poza poprzedni poziom, aby zbadać dowody przez negację i geometrię nieeuklidesową.
Jak widać, większość uczniów w klasach podstawowych działa na poziomie pierwszym; rozpoznaje kształty. Jednak nie zawsze robią to z płynnością i dokładnością. Kiedyś pokazałem kwadrat niektórym uczniom 4 i 5 klasy i poprosiłem ich o nazwanie tego kształtu. Nie mieli problemu z powiedzeniem mi, że jest to kwadrat. Jednak kiedy obróciłem go tak, aby wyglądał jak diament baseballowy, około dziewięciu na dziesięciu powiedziało, że teraz jest to diament. Reszta zapewniała mnie, że jest to romb. Tylko jeden student z ponad 100 był w stanie powiedzieć mi poprawnie, że to nadal był kwadrat, a ja tylko obrócił go.
Przez kontrast, algebra w szkole średniej jest nauczany na poziomie czterech i pięciu. Ponieważ uczniowie muszą przechodzić przez te poziomy sekwencyjnie, to tak jakbyśmy poprosili ich o wspinanie się po drabinie, która zawiera tylko pierwsze i ostatnie dwa szczeble z wielką przerwą w środku.
To ilustruje trudności, jakie napotykamy w nauczaniu geometrii. Identyfikacja kwadratu jest na większości państwowych standardów przedszkolnych. Jednak tylko 1% studentów, których zapytałem wiedział, co to jest kwadrat pięć lat później. Oczywiście jest to spowodowane tym, że kiedy ich teksty lub nauczyciele pokazywali kwadraty, zazwyczaj miały one linię bazową równoległą do dołu strony. Studenci nie zwracali uwagi na właściwości kwadratów.
Jednakże, gdy postawiłem ten sam problem ósmoklasistom, prawie wszyscy byli w stanie zidentyfikować kształt jako kwadrat, nawetleżący po obróceniu. To pokazuje nam, że ich nabycie tej wiedzy nie nastąpiło w wyniku naszego nauczania w przedszkolu, ale raczej w wyniku doświadczeń, z którymi zetknęli się w późniejszych klasach.
Jlecz jest to dobra wiadomość, ponieważ mówi nam, że możemy przyspieszyć ten wzrost, oferując uczniom te kluczowe doświadczenia w geometrii. Ponieważ jednak większość podręczników nie daje takich możliwości, to na nas spada obowiązek stworzenia takich lekcji. Na szczęście są one dostępne. W przyszłym blogu zaproponuję przykłady działań pośrednich, które pomogą uczniom wypełnić luki w ich geometrycznej drabinie.

.