Co to jest czysta matematyka? Czym zajmują się czyści matematycy? Dlaczego czysta matematyka jest ważna?

To są pytania, z którymi często się spotykam, gdy ludzie dowiadują się, że zajmuję się czystą matematyką.

Zawsze udaje mi się udzielić odpowiedzi, ale nigdy nie wydaje się ona w pełni satysfakcjonująca.

Postaram się więc udzielić bardziej sformułowanej i dojrzałej odpowiedzi na te trzy pytania. Z góry przepraszam za zbytnie uproszczenia, które musiałem poczynić, aby być zwięzłym.

Powszechnie mówiąc, istnieją dwa różne rodzaje matematyki (i już słyszę protesty) – czysta i stosowana. Filozofowie tacy jak Bertrand Russell próbowali podać rygorystyczne definicje tej klasyfikacji.

Ujmuję to rozróżnienie w następującym, nieco kryptycznym, stwierdzeniu: czyści matematycy dowodzą twierdzeń, a matematycy stosowani konstruują teorie.

To znaczy, że paradygmat, w którym matematyka jest wykonywana przez te dwie grupy ludzi, jest różny.

Czyści matematycy są często napędzani przez abstrakcyjne problemy. Aby skonkretyzować abstrakcję, oto kilka przykładów: “czy istnieje nieskończenie wiele bliźniaczych pierwiastków” lub “czy każde prawdziwe twierdzenie matematyczne ma dowód?”.

By być bardziej precyzyjnym, matematyka zbudowana z aksjomatów, a natura prawdy matematycznej jest regulowana przez logikę predykatów.

Twierdzenie matematyczne jest prawdziwym stwierdzeniem, któremu towarzyszy dowód, który ilustruje jego prawdę ponad wszelką wątpliwość poprzez dedukcję przy użyciu logiki.

W przeciwieństwie do teorii empirycznej, nie wystarczy po prostu skonstruować wyjaśnienia, które może się zmieniać w miarę pojawiania się wyjątków.

Coś, co matematyk podejrzewa o bycie prawdziwym ze względu na dowody, ale nie dowód, jest po prostu conjecture.

Zastosowane

Matematycy stosowani są zazwyczaj motywowani przez problemy wynikające ze świata fizycznego. Używają matematyki do modelowania i rozwiązywania tych problemów.

Te modele są naprawdę teoriami i, jak w każdej nauce, podlegają testowalności i falsyfikowalności. W miarę wzrostu ilości informacji dotyczących problemu, modele te będą się prawdopodobnie zmieniać.

Czysta i stosowana nie muszą się wzajemnie wykluczać. Jest wielu wspaniałych matematyków, którzy poruszają się w obu kierunkach.

Czysta

Jest wiele problemów rozwiązywanych przez czystych matematyków, które mają swoje korzenie w konkretnych problemach fizycznych – w szczególności tych, które wynikają z teorii względności lub mechaniki kwantowej.

Typowo, w głębszym zrozumieniu takich zjawisk, pojawiają się różne “szczegóły techniczne” (wierzcie mi, gdy mówię, że te szczegóły techniczne są bardzo trudne do wyjaśnienia). Stają się one wyabstrahowane do czysto matematycznych stwierdzeń, które czyści matematycy mogą atakować.

Rozwiązanie tych matematycznych problemów może mieć ważne zastosowania.

Ok komputer

Pozwól mi podać konkretny przykład tego, jak abstrakcyjne myślenie doprowadziło do rozwoju urządzenia, które leży u podstaw funkcji nowoczesnego społeczeństwa: komputera.

Najwcześniejsze komputery miały stały program – tzn. były specjalnie zbudowane do wykonywania tylko jednego zadania. Zmiana programu była bardzo kosztowną i żmudną sprawą.

Współczesną pozostałością po takim dinozaurze byłby kieszonkowy kalkulator, który jest zbudowany tylko do wykonywania podstawowych działań arytmetycznych. W przeciwieństwie do tego, nowoczesny komputer pozwala na załadowanie programu kalkulatora lub edytora tekstu i nie trzeba w tym celu zmieniać maszyny.

Ta zmiana paradygmatu nastąpiła w połowie lat 40. i jest nazywana architekturą programu składowanego lub architekturą von Neumanna.

Powszechnie dostępna, ale mniej znana historia jest taka, że ta koncepcja ma swoje korzenie w badaniu abstrakcyjnego problemu matematycznego zwanego Entscheidungsproblem (problem decyzyjny).

Problem Entscheidungsproblem został sformułowany w 1928 roku przez słynnego matematyka Davida Hilberta.

W przybliżeniu tłumaczy się on na to: “czy istnieje procedura, która może rozstrzygnąć o prawdziwości lub fałszywości twierdzenia matematycznego w skończonej liczbie kroków?”.

Na to pytanie odpowiedzieli przecząco Alonzo Church i Alan Turing niezależnie w 1936 i 1937 roku. W swojej pracy Turing sformułował abstrakcyjną maszynę, którą obecnie nazywamy maszyną Turinga.

Maszyna posiada nieskończenie długą taśmę (pamięć), głowicę, która może poruszać się o krok na raz, czytać z i pisać na taśmę, skończoną tablicę instrukcji, która wydaje instrukcje głowicy, oraz skończony zbiór stanów (takich jak “akceptuj” lub “zaprzeczaj”). Maszynę inicjuje się za pomocą danych wejściowych na taśmie.

Taka maszyna nie może istnieć poza sferą matematyki, ponieważ ma nieskończenie długą taśmę.

Jest to jednak narzędzie używane do definiowania pojęcia obliczalności. To znaczy, mówimy, że jakiś problem jest obliczalny, jeśli możemy go zakodować za pomocą maszyny Turinga.

Można wtedy dostrzec podobieństwa maszyny Turinga z maszyną stałoprogramową.

Załóżmy teraz, że istnieje maszyna Turinga U, która może wziąć tablicę instrukcji i stanów dowolnej maszyny Turinga T (odpowiednio zakodowanej), i na tej samej taśmie wprowadzić I do T, i uruchomić maszynę Turinga T na wejściu I.

Taką maszynę nazywamy uniwersalną maszyną Turinga.

W swojej pracy z 1937 roku Turing udowadnia ważne twierdzenie o istnieniu: istnieje uniwersalna maszyna Turinga. Jest to obecnie paralela koncepcji store-program, podstawa nowoczesnego komputera programowalnego.

To niezwykłe, że abstrakcyjny problem dotyczący podstaw matematyki położył fundamenty pod pojawienie się nowoczesnego komputera.

To jest być może cechą czystej matematyki, że matematyk nie jest ograniczony przez ograniczenia świata fizycznego i może odwołać się do wyobraźni, aby tworzyć i konstruować abstrakcyjne obiekty.

To nie znaczy, że czysty matematyk nie formalizuje pojęć fizycznych, takich jak energia, entropia, etcetera, aby zrobić abstrakcyjną matematykę.

W każdym razie, ten przykład powinien zilustrować, że dążenie do czysto matematycznych problemów jest wartościową sprawą, która może mieć ogromną wartość dla społeczeństwa.