Test Kołmogorova-Smirnova

Test K-S jest testem dobroci dopasowania używanym do oceny jednorodności zbioru rozkładów danych. Został on zaprojektowany w odpowiedzi na niedoskonałości testu chi-squared, który daje precyzyjne wyniki tylko dla dyskretnych, podzielonych na grupy rozkładów. Test K-S ma tę zaletę, że nie zakłada podziału na grupy porównywanych zbiorów danych, co eliminuje arbitralność i utratę informacji, które towarzyszą procesowi wyboru grupy.

W statystyce, test K-S jest przyjętym testem do pomiaru różnic między ciągłymi zestawami danych (rozkłady danych bez binowania), które są funkcją jednej zmiennej. Ta miara różnicy, statystyka K-S, jest zdefiniowana jako maksymalna wartość bezwzględnej różnicy między dwoma funkcjami rozkładu kumulatywnego. Jednostronny test K-S jest używany do porównania zbioru danych ze znaną funkcją rozkładu skumulowanego, podczas gdy dwustronny test K-S porównuje dwa różne zbiory danych. Każdy zestaw danych daje inną funkcję rozkładu skumulowanego, a jej znaczenie polega na jej związku z rozkładem prawdopodobieństwa, z którego dany zestaw danych został wylosowany: funkcja rozkładu prawdopodobieństwa dla pojedynczej zmiennej niezależnej ∗ jest funkcją, która przypisuje prawdopodobieństwo każdej wartości ∗. Prawdopodobieństwo przyjęte przez konkretną wartość \(x_{i}} jest wartością funkcji rozkładu prawdopodobieństwa przy \(x_{i}} i jest oznaczane jako \(P(x_{i}})\).Funkcja rozkładu skumulowanego jest definiowana jako funkcja określająca frakcję punktów danych znajdujących się na lewo od danej wartości \(x_{i}}, \(P(x <x_{i}})\); przedstawia ona prawdopodobieństwo, że \(x_{i}} jest mniejsze lub równe określonej wartości \(x_{i}}).

Tak więc, dla porównania dwóch różnych funkcji rozkładu skumulowanego \(S_{N1}(x)\) i \(S_{N2}(x)\), statystyka K-S wynosi

D = max|S_N1(x) – S_N2(x)|

gdzie \(S_{N}(x)\) jest funkcją rozkładu skumulowanego rozkładu prawdopodobieństwa, z którego wylosowano zbiór danych zawierający \(N) zdarzeń. Jeśli uporządkowane zdarzenia są zlokalizowane w punktach danych \(x_{i}), gdzie \(i = 1, \), to

S_N(x_i) = (i-N)/N

gdzie tablica danych \(x_i) jest posortowana w porządku rosnącym. Jest to funkcja krokowa, która zwiększa się o \(1/N\) przy wartości każdego uporządkowanego punktu danych.

Dla naszych celów, dwa porównywane rozkłady to zmierzony rozkład czasów przybycia, oraz skumulowana frakcja na upływający przedział czasu. Jeśli hipoteza zerowa (brak zmienności) jest prawdziwa, to otrzymujemy 50% zdarzeń w 50% upływającego czasu, a statystyka powinna rozkładać się zgodnie z rozkładem Kołmogorowa dla wielu realizacji rozkładu czasów przybycia. Prawdopodobieństwo zwrócone przez test jest więc \(p_{KS} = 1 – \), gdzie \(\) jest prawdopodobieństwem (zgodnie z rozkładem Kołmogorowa), że wartość \(D\) jest większa lub równa zmierzonej wartości. Mała wartość \(p_{KS}) wskazuje zatem na zgodność z hipotezą zerową, natomiast duża wartość \(p_{KS}) wskazuje, że odstęp czasu między zdarzeniami nie jest stały, a zatem można wnioskować o zmienności.