W dzisiejszych czasach naukowcy uważają za oczywiste, że każdy pomiar jest obarczony błędem, tak że powtórzenia pozornie tego samego eksperymentu dają różne wyniki. Jednak w intelektualnym klimacie czasów Galileusza, gdy logiczne sylogizmy, które nie dopuszczały żadnej szarej strefy między dobrem a złem, były akceptowanym sposobem dedukcji wniosków, jego nowatorskie procedury były dalekie od przekonywujących. Oceniając jego pracę, należy pamiętać, że konwencje przyjęte obecnie w raportowaniu wyników naukowych zostały przyjęte długo po czasach Galileusza. Jeśli więc, jak to się mówi, podał on jako fakt, że dwa przedmioty zrzucone z krzywej wieży w Pizie dotarły do ziemi razem, nie mając między sobą nawet szerokości dłoni, nie należy wnioskować, że sam przeprowadził ten eksperyment lub że, jeśli to zrobił, wynik był tak doskonały. Pewien eksperyment został przeprowadzony nieco wcześniej (1586) przez flamandzkiego matematyka Simona Stevina, ale Galileusz wyidealizował jego wynik. Lekka i ciężka kula nie spadają razem na ziemię, a różnica między nimi nie jest zawsze taka sama, ponieważ nie da się odtworzyć ideału polegającego na upuszczeniu ich dokładnie w tym samym momencie. Mimo to Galileusz był zadowolony, że bliższe prawdy jest stwierdzenie, iż spadają one razem, niż że istnieje znacząca różnica między ich prędkościami. Ta idealizacja niedoskonałych eksperymentów pozostaje istotnym procesem naukowym, choć obecnie uważa się za właściwe przedstawienie (lub przynajmniej udostępnienie do wglądu) pierwotnych obserwacji, tak aby inni mogli niezależnie osądzić, czy są gotowi przyjąć wniosek autora co do tego, co zostałoby zaobserwowane w idealnie przeprowadzonym eksperymencie.

Zasady te mogą być zilustrowane przez powtórzenie, z przewagą nowoczesnych instrumentów, eksperymentu takiego, jaki przeprowadził sam Galileusz, a mianowicie pomiaru czasu potrzebnego piłce do stoczenia się na różne odległości w dół łagodnie nachylonego kanału. Następująca relacja jest z prawdziwego eksperymentu mającego na celu pokazanie w bardzo prostym przykładzie, jak przebiega proces idealizacji i jak wstępne wnioski mogą być następnie poddane bardziej wnikliwym testom.

Linie równo rozmieszczone na 6 cm (2,4 cala) zostały narysowane na mosiężnym kanale, a piłka była trzymana w spoczynku obok najwyższej linii za pomocą karty. Elektroniczny zegar został uruchomiony w momencie, gdy karta została usunięta, a zegar został zatrzymany, gdy piłka przeszła jedną z pozostałych linii. Siedem powtórzeń każdego pomiaru czasu pokazało, że pomiary zazwyczaj rozchodziły się w zakresie 1/20 sekundy, przypuszczalnie z powodu ludzkich ograniczeń. W takim przypadku, gdy pomiar jest obarczony błędem losowym, średnia z wielu powtórzeń daje lepsze oszacowanie wyniku, jaki byłby, gdyby źródło błędu losowego zostało wyeliminowane; czynnik, o który poprawia się oszacowanie, jest w przybliżeniu pierwiastkiem kwadratowym z liczby pomiarów. Co więcej, teoria błędów przypisywana niemieckiemu matematykowi Carlowi Friedrichowi Gaussowi pozwala na ilościowe oszacowanie wiarygodności wyniku, wyrażonego w tabeli umownym symbolem ±. Nie oznacza to, że pierwszy wynik w kolumnie 2 jest gwarantowany, aby leżeć między 0,671 i 0,685, ale że jeśli to określenie średniej z siedmiu pomiarów miałoby być powtarzane wiele razy, około dwie trzecie oznaczeń leżałoby w tych granicach.

Przedstawienie pomiarów za pomocą wykresu, jak na rysunku 1, nie było dostępne dla Galileusza, ale zostało opracowane wkrótce po jego czasach jako konsekwencja pracy francuskiego matematyka-filozofa René Descartes. Punkty wydają się leżeć w pobliżu paraboli, a narysowana krzywa jest określona równaniem x = 12t2. Dopasowanie nie jest do końca idealne i warto spróbować znaleźć lepszy wzór. Ponieważ operacje uruchamiania zegara po wyjęciu karty, by umożliwić toczenie się kulki, i zatrzymywania go, gdy kulka mija znak, są różne, istnieje możliwość, że oprócz losowych błędów czasowych w każdej zmierzonej wartości t pojawia się błąd systematyczny; to znaczy, że każdy pomiar t należy być może interpretować jako t + t0, gdzie t0 jest nieznanym jeszcze stałym błędem czasowym. Jeśli tak jest, można by sprawdzić, czy zmierzone czasy były związane z odległością nie przez x = at2, gdzie a jest stałą, ale przez x = a(t + t0)2. Można to również sprawdzić graficznie, najpierw przepisując równanie jako pierwiastek kwadratowy z√x = pierwiastek kwadratowy z√a(t + t0), co mówi, że gdy wartości pierwiastka kwadratowego z√x są wykreślone względem zmierzonych wartości t, powinny leżeć na linii prostej. Rysunek 2 weryfikuje to przewidywanie dość dokładnie; linia nie przechodzi przez początek, ale raczej przecina oś poziomą w punkcie -0,09 sekundy. Z tego można wywnioskować, że t0 = 0,09 sekundy i że (t + 0,09)x powinno być takie samo dla wszystkich par pomiarów podanych w załączonej . Trzecia kolumna pokazuje, że tak właśnie jest. Rzeczywiście, stałość jest lepsza niż można by się spodziewać w świetle oszacowanych błędów. Należy to uznać za statystyczny przypadek; nie implikuje to żadnej większej pewności co do poprawności wzoru, niż gdyby liczby w ostatniej kolumnie wahały się, jak to mogło mieć miejsce, pomiędzy 0,311 a 0,315. Zdziwilibyśmy się, gdyby powtórzenie całego eksperymentu ponownie dało tak prawie stały wynik.

Możliwy wniosek jest więc taki, że z jakiegoś powodu – prawdopodobnie błędu obserwacyjnego – zmierzone czasy zaniżają o 0,09 sekundy rzeczywisty czas t, jaki zajmuje kulce, startującej ze stanu spoczynku, przebycie odległości x. Jeśli tak, to w idealnych warunkach x byłoby ściśle proporcjonalne do t2. Dalsze eksperymenty, w których kanał jest ustawiony na różnych, ale wciąż łagodnych zboczach, sugerują, że ogólna reguła przyjmuje postać x = at2, z a proporcjonalnym do zbocza. Ta wstępna idealizacja pomiarów doświadczalnych może wymagać modyfikacji, lub nawet odrzucenia, w świetle dalszych doświadczeń. Teraz jednak, gdy została ona ujęta w formę matematyczną, może być analizowana matematycznie, aby ujawnić, jakie konsekwencje za sobą pociąga. Ponadto, to będzie sugerować sposoby testowania go bardziej searchingly.

Z wykresu, takiego jak rysunek 1, który pokazuje, jak x zależy od t, można wywnioskować chwilową prędkość piłki w każdej chwili. Jest to nachylenie stycznej narysowanej do krzywej przy wybranej wartości t; na przykład, przy t = 0,6 sekundy, styczna w postaci narysowanej opisuje, jak x byłoby związane z t dla piłki poruszającej się ze stałą prędkością około 14 cm na sekundę. Mniejsze nachylenie przed tą chwilą i większe nachylenie po niej wskazują, że piłka stale przyspiesza. Można by narysować styczne przy różnych wartościach t i dojść do wniosku, że prędkość chwilowa jest w przybliżeniu proporcjonalna do czasu, jaki upłynął od momentu, gdy piłka zaczęła się toczyć. Ta procedura, wraz z jej nieuniknionymi niedokładnościami, staje się zbędna dzięki zastosowaniu elementarnego rachunku do przypuszczalnego wzoru. Prędkość chwilowa v jest pochodną x względem t; jeśli

Implikacją tego, że prędkość jest ściśle proporcjonalna do upływającego czasu jest to, że wykres v względem t byłby linią prostą przechodzącą przez początek. Na każdym wykresie tych wielkości, prostym lub nie, nachylenie stycznej w dowolnym punkcie pokazuje, jak prędkość zmienia się w czasie w tej chwili; jest to przyspieszenie chwilowe f. Dla prostoliniowego wykresu zależności v od t, nachylenie, a więc i przyspieszenie są takie same w każdym momencie. Wyrażając się matematycznie, f = dv/dt = d2x/dt2; w tym przypadku f przyjmuje stałą wartość 2a.

Wstępny wniosek jest więc taki, że piłka tocząca się po prostym zboczu doznaje stałego przyspieszenia i że wielkość tego przyspieszenia jest proporcjonalna do nachylenia zbocza. Można teraz sprawdzić słuszność tego wniosku, sprawdzając, co przewiduje on dla innego układu doświadczalnego. Jeśli to możliwe, przeprowadza się doświadczenie, które pozwala na dokładniejsze pomiary niż te, które doprowadziły do wstępnego wnioskowania. Takim testem jest kulka tocząca się w zakrzywionym kanale tak, że jej środek zakreśla łuk kołowy o promieniu r, jak na rysunku 3. Jeżeli łuk jest płytki, nachylenie w odległości x od jego najniższego punktu jest bardzo bliskie x/r, tak więc przyspieszenie kulki w kierunku najniższego punktu jest proporcjonalne do x/r. Wprowadzając c jako stałą proporcjonalności, zapisujemy to jako równanie różniczkowe

Stwierdza się, że na wykresie pokazującym jak x zmienia się z t, krzywizna d2x/dt2 jest proporcjonalna do x i ma przeciwny znak, jak pokazano na rysunku 4. Gdy wykres przecina oś, x, a więc i krzywizna, są równe zeru, a linia jest lokalnie prosta. Wykres ten przedstawia oscylacje kulki pomiędzy skrajnymi punktami ±A po uwolnieniu jej z x = A w chwili t = 0. Rozwiązaniem równania różniczkowego, którego graficzną reprezentacją jest wykres, jest

gdzie ω, zwana częstością kątową, zapisana jest dla pierwiastka kwadratowego z√(c/r). Piłka potrzebuje czasu T = 2π/ω = 2πPierwiastek kwadratowy z√(r/c) aby powrócić do pierwotnego położenia spoczynku, po czym oscylacja jest powtarzana w nieskończoność lub do momentu aż tarcie sprowadzi piłkę do stanu spoczynku.

Zgodnie z tą analizą, okres, T, jest niezależny od amplitudy oscylacji, i to raczej nieoczekiwane przewidywanie jest jednym z tych, które mogą być rygorystycznie przetestowane. Zamiast pozwalać kulce toczyć się po zakrzywionym kanale, ta sama ścieżka jest łatwiej i dokładniej realizowana poprzez uczynienie z niej boba prostego wahadła. Aby sprawdzić, czy okres jest niezależny od amplitudy, dwa wahadła mogą być wykonane tak blisko siebie, jak to tylko możliwe, tak aby utrzymywały się w jednym kroku podczas kołysania z tą samą amplitudą. Następnie wychyla się je z różnymi amplitudami. Wykrycie jakiejkolwiek różnicy w okresie wymaga znacznej ostrożności, chyba że jedna amplituda jest duża, wtedy okres jest nieco dłuższy. Obserwacja, która prawie zgadza się z przewidywaniami, ale nie do końca, nie musi świadczyć o tym, że początkowe przypuszczenie było błędne. W tym przypadku, równanie różniczkowe, które przewidywało dokładną stałość okresu było samo w sobie przybliżeniem. Kiedy jest przeformułowane z prawdziwym wyrażeniem dla zbocza zastępującym x/r, rozwiązanie (które wymaga dość ciężkiej matematyki) pokazuje zmienność okresu z amplitudą, która została rygorystycznie zweryfikowana. Daleko od bycia zdyskredytowanym, wstępne założenie pojawiło się z wzmocnionym wsparciem.

Prawo przyspieszenia Galileusza, fizyczna podstawa wyrażenia 2πSquare root of√(r/c) dla okresu, jest dodatkowo wzmocniona przez odkrycie, że T zmienia się bezpośrednio jako pierwiastek kwadratowy z r-i.e., długości wahadła.

W dodatku, takie pomiary pozwalają na wyznaczenie z dużą dokładnością wartości stałej c i okazuje się, że pokrywa się ona z przyspieszeniem g swobodnie spadającego ciała. W rzeczywistości wzór na okres małych drgań prostego wahadła o długości r, T = 2πPierwiastek kwadratowy z√(r/g), jest podstawą niektórych z najbardziej precyzyjnych metod pomiaru g. Nie byłoby to możliwe, gdyby społeczność naukowa nie zaakceptowała Galileuszowego opisu idealnego zachowania i nie spodziewała się, że małe odchylenia mogą zachwiać jej wiarą, o ile można je zrozumieć jako odzwierciedlenie nieuniknionych przypadkowych rozbieżności między ideałem a jego doświadczalną realizacją. Rozwój mechaniki kwantowej w pierwszej ćwierci XX wieku był stymulowany przez niechętną akceptację faktu, że opis ten systematycznie zawodzi, gdy jest stosowany do obiektów o rozmiarach atomowych. W tym przypadku nie chodziło, jak w przypadku zmian okresu, o bardziej precyzyjne przełożenie idei fizycznych na matematykę; cała podstawa fizyczna wymagała radykalnej rewizji. Jednak nie wyrzucono wcześniejszych pomysłów – okazały się one skuteczne w zbyt wielu zastosowaniach, by można je było odrzucić. To, co się pojawiło, to jaśniejsze zrozumienie okoliczności, w których ich absolutna ważność może być bezpiecznie przyjęta.