Matematycy od lat podejrzewali, że w specyficznych okolicznościach równania Eulera zawodzą. Ale nie byli w stanie zidentyfikować dokładnego scenariusza, w którym to niepowodzenie następuje. Aż do teraz.

Równania są wyidealizowanym matematycznym opisem tego, jak poruszają się płyny. W ramach pewnych założeń, modelują one sposób, w jaki fale rozchodzą się po stawie lub jak melasa wycieka ze słoika. Powinny być w stanie opisać ruch każdego płynu w każdych okolicznościach – i przez ponad dwa stulecia tak było.

Ale nowy dowód pokazuje, że w pewnych warunkach równania zawodzą.

“Półtora roku temu powiedziałbym, że jest to coś, czego być może nie zobaczę za mojego życia”, powiedział Tarek Elgindi, matematyk z Uniwersytetu Kalifornijskiego w San Diego i autor nowej pracy.

Elgindi udowodnił istnienie wady w równaniach Eulera w dwóch pracach opublikowanych online w tym roku – jednej w kwietniu, którą napisał sam, i jednej w październiku, którą napisał z Tej-eddine Ghoul i Nader Masmoudi. Razem, prace te obaliły wieki założeń dotyczących tych słynnych równań płynów.

“Myślę, że to wielkie, wspaniałe osiągnięcie”, powiedział Peter Constantin, matematyk z Princeton University.

Praca Elgindiego nie jest śmiertelną klątwą dla równań Eulera. Raczej udowadnia, że w bardzo szczególnych okolicznościach równania te przegrzewają się i zaczynają produkować nonsensy. W bardziej realistycznych warunkach, równania są nadal, na razie, nietykalne.

Ale wyjątek, który znalazł Elgindi jest zaskakujący dla matematyków, ponieważ wystąpił w warunkach, w których wcześniej sądzili, że równania zawsze funkcjonują.

“Ogólnie rzecz biorąc, myślę, że ludzie są dość zaskoczeni przykładem Tarka”, powiedział Vlad Vicol, matematyk z New York University.

Euler’s Blowup

Leonhard Euler odkrył równania płynów, które teraz noszą jego imię w 1757 roku. Opisują one ewolucję płynu w czasie, podobnie jak równania Newtona opisują ruch kuli bilardowej na stole.

Dokładniej, równania te określają chwilowy ruch nieskończenie małych cząstek w płynie. Opis ten zawiera prędkość cząstki (jak szybko się porusza i w którym kierunku) oraz związaną z nią wielkość znaną jako wirowość (jak szybko się obraca, jak czubek, i w którym kierunku).

Zbiorczo, informacje te tworzą “pole prędkości”, które jest migawką ruchu płynu w danym momencie w czasie. Równania Eulera zaczynają się od początkowego pola prędkości i przewidują jak będzie się ono zmieniać w każdym momencie w przyszłości.

Równania Eulera nie są dosłownym opisem płynu w świecie rzeczywistym. Zawierają one kilka niefizycznych założeń. Na przykład, równania te działają tylko wtedy, gdy prądy wewnętrzne w płynie nie generują tarcia, gdy poruszają się obok siebie. Zakładają również, że ciecze są “nieściśliwe”, co oznacza, że zgodnie z zasadami równań Eulera, nie można wcisnąć cieczy do mniejszej przestrzeni niż ta, którą już zajmuje.

“Możemy myśleć o modelu jako o pewnym wyidealizowanym świecie, a o równaniach jako o zasadach ruchu w tym świecie”, napisał Vladimir Sverak z University of Minnesota w e-mailu.

Te nienaturalne zastrzeżenia doprowadziły matematyka i fizyka Johna von Neumanna do żartu, że równania modelują “suchą wodę”. Aby modelować ruch bardziej realistycznego płynu z tarciem wewnętrznym (lub lepkością), naukowcy używają równań Naviera-Stokesa.

“Równania Eulera są bardzo wyidealizowane. Prawdziwe płyny mają tarcie” – powiedział Constantin.

Ale równania Eulera wciąż zajmują czcigodne miejsce w nauce. Naukowcy chcieliby wiedzieć, czy równania te działają jednoznacznie w tym pozbawionym tarcia, nieściśliwym, wyidealizowanym świecie – to znaczy, czy mogą opisać wszystkie przyszłe stany każdego możliwego początkowego pola prędkości. Lub, ujmując to w inny sposób: Czy istnieją ruchy płynów, których te rzekomo uniwersalne równania nie mogą modelować?

“Podstawowe pytanie brzmi: Czy równania zawsze wykonują swoją pracę?” powiedział Sverak.

W teorii, gdy tylko wpiszesz wartości dla obecnego stanu płynu, równania wyprodukują dokładne wartości dla przyszłego stanu. Następnie możesz podłączyć te nowe wartości z powrotem do równań i rozszerzyć swoją prognozę. Zazwyczaj proces ten działa, pozornie tak daleko w przyszłość, jak tylko chcesz spojrzeć.

Jednakże jest również możliwe, że w bardzo rzadkich okolicznościach, równania się psują. Mogą one być chugging wzdłuż, produkując wyniki, które działają jako przyszłe dane wejściowe, kiedy rzeczy zaczynają iść źle i równania w końcu produkują wartość, że nie mogą kontynuować obliczania z. W takich sytuacjach, matematycy mówią, że równania “wybuchają”.

Jeśli równania Eulera miałyby wybuchnąć, byłoby to spowodowane tym, że wzmacniają prędkość lub wirowość punktu w bardzo nienaturalny sposób. Wzmocnienie byłoby tak ekstremalne, że w skończonym czasie prędkość lub wirowość w danym punkcie stałaby się nieskończona. A kiedy równania osiągną nieskończoną wartość, rozbiją się i nie będą w stanie opisać żadnych dodatkowych przyszłych stanów. Dzieje się tak dlatego, że generalnie nie można obliczyć nieskończonych wartości, tak jak nie można podzielić przez zero. (Wartości przekroczyłyby po drodze prędkość światła, ale w tym wyidealizowanym świecie to jest OK.)

Te fatalne nieskończone wartości nazywane są “osobliwościami”. Kiedy matematycy pytają: “Czy równania Eulera zawsze działają?”, tak naprawdę pytają: “Czy istnieją scenariusze, w których równania Eulera produkują osobliwości?”

Wielu matematyków uważa, że odpowiedź jest twierdząca, ale nigdy nie byli w stanie znaleźć konkretnego scenariusza, w którym równania rzeczywiście wybuchają.

“Czujesz, że Euler próbuje uniknąć . Do tej pory się to udawało,” powiedział Constantin.

Nowa praca nie pokazuje, że równania produkują osobliwości w dokładnych warunkach, na których matematykom zależy najbardziej. Jest to jednak najbliższy temu celowi wynik. Aby go osiągnąć, Elgindi rozważył uproszczony model ruchu płynów.

Reducing Complexity

Matematycy mają wiele różnych sposobów na zmniejszenie złożoności ruchu płynów, o których modelowanie proszą równania Eulera. Wiele z najbardziej interesujących wyników, jak ten Elgindiego, polega na zademonstrowaniu, jak bardzo można uprościć zachowanie płynu – czyli jak bardzo można uprościć dane wprowadzane do równań – jednocześnie wciąż udaje się powiedzieć coś sensownego o samych równaniach.

W prawdziwym trójwymiarowym płynie, takim jak woda w stawie, każda cząsteczka ma trzy osie, wzdłuż których może się poruszać: oś x (w lewo lub w prawo), oś y (w górę lub w dół) oraz oś z (do tyłu lub do przodu). To bardzo duża swoboda ruchu. Ponadto, niekoniecznie istnieje jakikolwiek silny związek pomiędzy ruchem cząsteczek w różnych częściach płynu.

“To zbyt wiele do śledzenia”, powiedział Elgindi.

W swojej nowej pracy, Elgindi upraszcza zadanie, o które prosi równania Eulera. Wymaga, aby płyn wykazywał symetrię wokół osi z, coś, czego zazwyczaj nie można znaleźć w prawdziwym płynie. Symetria ta ułatwia obliczenie pola prędkości, ponieważ wiadomo, że punkty po obu stronach osi z są lustrzanymi odbiciami siebie nawzajem. Więc jeśli znasz prędkość lub wirowość w jednym punkcie, wszystko co musisz zrobić to odwrócić znak tych wartości i będziesz znał wartości w drugim punkcie.

On również ogranicza zakres ruchu dostępny dla punktów w płynie. Cząstki mogą poruszać się w dwóch ogólnych kierunkach, albo wzdłuż osi z, albo w kierunku osi z lub od niej. Nie wolno im jednak obracać się wokół osi z. Matematycy mówią, że taki płyn “nie ma zawirowań.”

“To redukuje problem w zasadzie do dwuwymiarowego”, powiedział Elgindi.

Na koniec, Elgindi stawia pewne dodatkowe warunki na początkowych danych, które wprowadza do równań Eulera. Dane te są w pewnym sensie bardziej szorstkie niż wartości opisujące rzeczywiste płyny, co sprawia, że powstawanie osobliwości jest bardziej prawdopodobne.

W prawdziwym życiu, jeśli przejdziesz bardzo małą odległość z jednego punktu płynu do drugiego, prędkość w drugim punkcie jest bardzo podobna do prędkości w pierwszym. Podobnie, prędkości w tych dwóch punktach powinny być bardzo podobne. Matematycy mówią, że pola prędkości z tą właściwością są “gładkie”, co oznacza, że wartości zmieniają się w sposób ciągły – płynnie – w miarę przemieszczania się z jednego punktu do drugiego. Nie ma gwałtownych zmian.

Tak nie jest w przypadku opisów płynów Elgindi.

“Wirowość w danych Tarka może zmieniać się bardziej dramatycznie,” powiedział Vicol. “Bliskie punkty mają bardzo różne wirowości.”

Uproszczenia Elgindi’ego mogą wydawać się zbyt dalekie od rzeczywistego zachowania płynu, aby były użyteczne. Ale są one znacznie łagodniejsze niż wiele uproszczonych scenariuszy, w których matematycy wcześniej uzyskali wgląd w równania Eulera.

W rzeczywistości, Elgindi pokazał, że w tych uproszczonych – ale nie zbyt uproszczonych – warunkach, równania Eulera zaczynają dawać bardzo nieoczekiwane wyniki.

Game Over

Aby zrozumieć odkrycie Elgindiego, wyobraźmy sobie zbiornik wody. Jest to nieco mylące, ponieważ praca Elgindiego dotyczy płynów, które nie mają granic, co oznacza, że unoszą się w przestrzeni jak kropla. Ale dla celów wizualizacji scenariusza leżącego u podstaw jego pracy, warto umieścić wodę w zbiorniku. Najważniejsze matematyczne przypuszczenia – i najtrudniejsze do udowodnienia – dotyczą płynów bez granic.

Następnie, wyobraź sobie dwa grube pierścienie wody na przeciwległych końcach zbiornika. Pierścienie te tworzą jakby wiry – zorganizowane zakłócenia wewnątrz głównej części cieczy. Są one rodzajem zjawiska, które naprawdę występuje w przyrodzie i wyglądają jak pierścienie, które potrafią wytworzyć wytrawni palacze.

Wyobraźmy sobie teraz przeciwległe pierścienie poruszające się ku sobie.

Podczas ich ruchu równania Eulera działają normalnie w tle, obliczając pola prędkości, które opisują płyn w każdym momencie czasu. Ale kiedy pierścienie zbliżają się do siebie, równania zaczynają podawać szalone wartości.

Wykazują one, że pierścienie przyciągają się wzajemnie z coraz większą intensywnością – a w szczególności pokazują, że najbardziej wewnętrzne części pierścieni przyciągają się i przyciągają z jeszcze większą siłą niż najbardziej zewnętrzne części pierścieni. W rezultacie, pierścienie wydłużają się, rozciągając się, by wyglądać bardziej jak para lejków. W miarę jak ich środki zbliżają się coraz bardziej, ich prędkości stają się coraz większe. Wtedy zderzają się.

I jeśli w tym dokładnym momencie spojrzysz na pole prędkości opisujące zderzenie, zobaczysz coś, czego nikt nie widział pod tym zestawem założeń w historii równań Eulera: osobliwość. Elgindi udowodnił, że równania Eulera obliczają nieskończoną wirowość w punkcie zderzenia. Koniec gry.

“Klasyczna postać równań załamuje się”, powiedział Elgindi. “Po tym nie wiadomo, co się stanie.”

Wynik ma pewne ograniczenia. Mianowicie, nie jest możliwe ekstrapolowanie z jego dowodu na zachowanie równań Eulera w całkowicie “gładkich” warunkach. Dzieje się tak, ponieważ matematycy udowodnili dziesiątki lat temu, że w gładkich warunkach, scenariusz, który Elgindi rozważa, nie produkuje osobliwości.

Ale na inne sposoby, jego wynik całkowicie zmienia sposób, w jaki matematycy patrzą na te stare równania.

Przed pracą Elgindiego, matematycy nigdy nie udowodnili istnienia jakiejkolwiek sytuacji, bez granicy, w której równania Eulera działały przez krótki okres czasu (gdy pierścienie zbliżają się do siebie), ale nie na zawsze. We wszystkich poprzednich pracach matematycy stwierdzili, że jeśli równania w ogóle działały, to działały wiecznie.

“To dość niezwykły wynik, ponieważ dowodzi, że istnieją osobliwości w scenariuszu, który jest tym, co nazywamy ‘dobrze postawionym’. To ma sens, a mimo to dostajemy tę osobliwość w czasie skończonym”, powiedział Constantin.

Wiele pokoleń naukowców szukało miękkiego miejsca w równaniach Eulera. W końcu – z zastrzeżeniami – matematyk znalazł je.

.